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欧拉乘积

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对于 s>1, 黎曼 zeta 函数由下式给出

zeta(s)=sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)
(1)
=product_(k=1)^(infty)1/(1-1/(p_k^s)),
(2)

其中 p_k 是第 k 个素数。这是欧拉乘积 (Whittaker and Watson 1990)，Havil (2003, p. 61) 称之为“最重要的公式”，Derbyshire (2004, pp. 104-106) 称之为“金钥匙”。

这可以通过展开乘积、将每一项写成几何级数、展开、相乘和重新排列项来证明，

product_(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^s))=1/(1-1/(p_1^s))1/(1-1/(p_2^s))1/(1-1/(p_3^s))... =[sum_(k=0)^infty(1/(p_1^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_2^s))^k][sum_(k=0)^infty(1/(p_3^s))^k]... =(1+1/(p_1^s)+1/(p_1^(2s))+1/(p_1^(3s))+...)(1+1/(p_2^s)+1/(p_2^(2s))+1/(p_2^(3s))+...)... =1+sum_(1<=i)1/(p_i^s)+sum_(1<=i<=j)1/(p_i^sp_j^s)+sum_(1<=i<=j<=k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+... =1+1/(2^s)+1/(3^s)+1/(4^s)+1/(5^s)+... =sum_(n=1)^infty1/(n^s) =zeta(s).
(3)

这里，导致公式 (1) 的重排来自于算术基本定理，因为每个素数幂的乘积恰好在一个分母中出现，并且每个正整数等于恰好一个素数幂的乘积。

此乘积通过以下方式与 莫比乌斯函数 mu(n) 相关

1/(zeta(s))=sum_(n=1)^infty(mu(n))/(n^s),
(4)

这可以通过展开乘积来获得

1/(zeta(s))=product_(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(5)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))...
(6)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+...)+(1/(p_1^sp_2^s)+...+1/(p_1^sp_3^s)+1/(p_2^sp_3^s)+...)-...
(7)
=1-sum_(0<i)1/(p_i^s)+sum_(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-sum_(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+...
(8)
=sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s).
(9)

zeta(1)=infty, 但有限乘积存在，给出

P(n)=product_(k=1)^n1/(1-1/(p_k)).
(10)

对于上限 n=0, 1, 2, ..., 乘积由 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... (OEIS A060753 和 A038110) 给出。 前乘以 1/lnp_n 并令 n->infty 得到一个被称为 Mertens 定理的美丽结果。

欧拉乘积在朗·霍华德 2001 年的电影美丽心灵中约翰·纳什（罗素·克劳饰演）的黑板涂鸦中短暂出现。

另请参阅

戴德金函数, 狄利克雷 L 级数, 欧拉-马歇罗尼常数, 无穷乘积, Mertens 定理, 素数乘积, 黎曼 Zeta 函数, Stieltjes 常数

此条目部分内容由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

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参考文献

Derbyshire, J. 素数 Obsession：伯恩哈德·黎曼与数学中最伟大的未解问题。 New York: Penguin, 2004.Edwards, H. M. "欧拉乘积公式。" §1.2 in 黎曼的 Zeta 函数。 New York: Dover, pp. 6-7, 2001.Euler, L. "Variae observationes circa series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Zeta 函数。" §17.2 in 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.Havil, J. "最重要的公式。" §7.1 in Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.Ribenboim, P. 素数记录新书，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.Shimura, G. 欧拉乘积与艾森斯坦级数。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Sloane, N. J. A. 序列 A038110 和 A060753 in "整数序列在线百科全书"。Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "zeta(s) 的欧拉乘积。" §13.3 in 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

欧拉乘积

请引用为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "欧拉乘积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulerProduct.html

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