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五边形数定理

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product_(k=1)^(infty)(1-x^k)=sum_(k=-infty)^(infty)(-1)^kx^(k(3k+1)/2)
(1)
=1+sum_(k=1)^(infty)(-1)^k[x^(k(3k-1)/2)+x^(k(3k+1)/2)]
(2)
=(x)_infty
(3)
=1-x-x^2+x^5+x^7-x^(12)-x^(15)+x^(22)+x^(26)-...
(4)

(OEIS A010815)，其中 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, ... (OEIS A001318) 是广义五边形数，而 (x)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号。

这个恒等式由欧拉 (Euler) (1783) 在 1775 年 8 月 14 日提交给圣彼得堡科学院的论文中证明。

相关等式为

product_(k=1)^(infty)(1-x^kt)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nx^(n(n+1)/2))/(product_(k=1)^(n)(1-x^k))t^n
(5)
=((t;x)_infty)/(1-t)
(6)
product_(k=1)^(infty)(1-x^kt)^(-1)=sum_(n=0)^(infty)(x^n)/(product_(k=1)^(n)(1-x^k))t^n
(7)
=(1-t)/((t;x)_infty).
(8)

另请参阅

划分函数 P, 划分函数 Q, 五边形数, q-Pochhammer 符号, 拉马努金 Theta 函数, 扎吉尔恒等式

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参考文献

Bailey, W. N. 广义超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 72, 1935.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 221-222, 2007.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi 与 AGM：解析数论与计算复杂性研究。 New York: Wiley, p. 64, 1987.Euler, L. "Evolutio producti infiniti (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5) 等展开为简单级数。" Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 1780, pp. 47-55, 1783. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 3. pp. 472-479. Translated as Bell, J. "无穷乘积 (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6) 等展开为单级数。" Dec. 4, 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和著作启发的课题的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 83-85, 1999.Sloane, N. J. A. 整数数列线上百科全书中的数列 A001318/M1336 和 A010815。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

五边形数定理

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “五边形数定理。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PentagonalNumberTheorem.html

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