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复模

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一个复数 z 的模，也称为复数范数，用 |z| 表示，并定义为

|x+iy|=sqrt(x^2+y^2).
(1)

如果 z 表示为复指数形式 (即，一个相量)，则

|re^(iphi)|=|r|.
(2)

复模在 Wolfram Language 中实现为Abs[z]，或Norm[z]。

|z|^2 的平方有时被称为绝对平方。

设 c_1=Ae^(iphi_1) 和 c_2=Be^(iphi_2) 为两个复数。则

|(c_1)/(c_2)|=|(Ae^(iphi_1))/(Be^(iphi_2))|=A/B|e^(i(phi_1-phi_2))|=A/B
(3)
(|c_1|)/(|c_2|)=(|Ae^(iphi_1)|)/(|Be^(iphi_2)|)=A/B(|e^(iphi_1)|)/(|e^(iphi_2)|)=A/B,
(4)

因此，

|(c_1)/(c_2)|=(|c_1|)/(|c_2|).
(5)

此外，

|c_1c_2|=|(Ae^(iphi_1))(Be^(iphi_2))|=AB|e^(i(phi_1+phi_2))|=AB
(6)
|c_1||c_2|=|Ae^(iphi_1)||Be^(iphi_2)|=AB|e^(iphi_1)||e^(iphi_2)|=AB,
(7)

因此，

|c_1c_2|=|c_1||c_2|
(8)

并且，通过扩展，

|z^n|=|z|^n.
(9)

唯一满足 以下形式恒等式的函数

|f(x+iy)|=|f(x)+f(iy)|
(10)

是 f(z)=Az, f(z)=Asin(bz), 和 f(z)=Asinh(bz) (Robinson 1957)。

另请参阅

绝对平方, 绝对值, 复角, 复数, 虚部, 最大模原理, 最小模原理, 实部

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 16, 1972.Krantz, S. G. "Modulus of a Complex Number." §1.1.4 n 复变量手册。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 2-3, 1999.Robinson, R. M. "A Curious Mathematical Identity." Amer. Math. Monthly 64, 83-85, 1957.

在 中被引用

复模

请引用为

Weisstein, Eric W. "复模。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ComplexModulus.html

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