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梅尔滕斯定理

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MertensTheorem

考虑欧拉乘积

zeta(s)=product_(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^s)),
(1)

其中 zeta(s) 是 黎曼 zeta 函数，p_k 是第 k 个 素数。zeta(1)=infty，但取有限乘积直到 k=n，预乘以因子 1/lnp_n，并令 n->infty 得到

lim_(n->infty)1/(lnp_n)product_(k=1)^(n)1/(1-1/(p_k))=e^gamma
(2)
=1.781072...,
(3)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数 (Havil 2003, p. 173)。这个令人惊叹的结果被称为梅尔滕斯定理。

至少对于 n<5.76×10^6，有限乘积序列严格地从上方接近 e^gamma (Rosser 和 Schoenfeld 1962)。然而，极有可能对于无穷多个 n 值，有限乘积小于其极限值，这通常是由于 临界线 R[s]=1/2 上 zeta(s) 的零点存在而导致的任何此类不等式的情况。例如，Littlewood 著名的证明表明不等式 pi(n)<lin 的方向会无限次反转，其中 pi(n) 是 素数计数函数，lin 是 对数积分。虽然 Rosser 和 Schoenfeld (1962) 建议“也许可以扩展 [这个] 结果以表明 [梅尔滕斯不等式] 对于大的 x 失败；我们尚未对此事进行调查”，但对于梅尔滕斯定理中的项，不等式反转的完整证明似乎并未出现在已发表的文献中。

MertensTheoremPlus

一个密切相关的结果可以通过注意到这一点获得

1+1/(p_k)=(1-1/(p_k^2))/(1-1/(p_k)).
(4)

考虑将公式 (3) 中的 + 号更改为 - 号，并将 lnp_n 从分母移至分子，然后得到的结果

lim_(n->infty)lnp_nproduct_(k=1)^n1/(1+1/(p_k))=lim_(n->infty)lnp_nproduct_(k=1)^n(1/(1-1/(p_k^2)))/(1/(1-1/(p_k)))
(5)
=(product_(k=1)^infty1/(1-1/(p_k^2)))/(lim_(n->infty)1/(lnp_n)product_(k=1)^n1/(1-1/(p_k)))
(6)
=(zeta(2))/(e^gamma)
(7)
=(pi^2)/(6e^gamma)
(8)
=0.923563....
(9)

对于与梅尔滕斯定理相同的范围，有限乘积序列从下方严格地接近其极限值，因为这个来自下方的这个不等式是梅尔滕斯定理来自上方的不等式的推论。

Edwards (2001, pp. 5-6) 评论道：“在黎曼 [1859] 年的论文发表后的头 30 年里，[素数渐近学] 领域几乎没有进展”，并在脚注中补充道：“梅尔滕斯 1874 年的定理是这一说法的一个主要例外……”（著名的 素数定理 直到 1896 年才被证明。）

另请参阅

欧拉乘积, 无穷乘积, 梅尔滕斯常数, 梅尔滕斯第二定理, 素数定理, 素数积

本条目的部分内容由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

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参考文献

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Oxford University Press, p. 351, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Mertens, F. "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie." J. reine angew. Math. 78, 46-62, 1874.Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 66-67, 1994.Rosser, J. B. and Schoenfeld, L. "Approximate Formulas for Some Functions of Prime Numbers." Ill. J. Math. 6, 64-94, 1962.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

梅尔滕斯定理

请引用本文为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "梅尔滕斯定理。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MertensTheorem.html

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