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q-级数

一个 q-级数是涉及以下形式系数的级数

(a;q)_n=product_(k=0)^(n-1)(1-aq^k)
(1)
=product_(k=0)^(infty)((1-aq^k))/((1-aq^(k+n)))
(2)
=((a;q)_infty)/((aq^n;q)_infty)
(3)

对于 n>=1，其中 (a;q)_infty 定义为

(a;q)_infty=product_(k=0)^infty(1-aq^k).
(4)

符号 (a;q)_infty 被称为 q-Pochhammer 符号（Andrews 1986，第 10 页），因为它是一个通常的 Pochhammer 符号的 q-模拟。q-级数遵守优美的性质集，并且自然地出现在分割理论中，以及数学物理的许多问题中，特别是那些枚举晶格上可能的状态或构型数量的问题。速记符号

(a)_n=(a;q)_n
(5)

是常见的，并且符号

(q)_n=(q;q)_n=product_(k=1)^n(1-q^k)
(6)

是另一种特殊情况 (Hirschhorn 1999)。

参见

Borwein 猜想, Dedekind Eta 函数, Fine 方程, Jackson 恒等式, Jacobi 恒等式, Mock Theta 函数, q-模拟, q-二项式定理, q-余弦, q-阶乘, Q-函数, q-Gamma 函数, q-超几何函数, q-多项式系数, q-Pochhammer 符号, q-级数恒等式, q-正弦, Ramanujan Psi 和, Ramanujan Theta 函数, Rogers-Ramanujan 恒等式

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参考文献

Andrews, G. E. q-级数：它们在分析、数论、组合数学、物理和计算机代数中的发展和应用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.Andrews, G. E. 分割理论。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. 特殊函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Berndt, B. C. "q-级数。" Ch. 27 in Ramanujan 的笔记本，第四部分。 New York:Springer-Verlag, pp. 261-286, 1994.Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "关于 Ramanujan 丢失笔记本中 Rogers-Ramanujan 连分式的一些定理。" 即将发表于Trans. Amer. Math. Soc.Bhatnagar, G. "一元 q-级数的多变量视角。" In 特殊函数和微分方程。1997 年 1 月 13-24 日在马德拉斯举行的研讨会（WSSF97）会议记录 (Ed. K. S. Rao, R. Jagannathan, G. van den Berghe, and J. Van der Jeugt). New Delhi, India: Allied Pub., pp. 60-72, 1998.Gasper, G. "q-级数入门迷你课程讲义。" 1995 年 9 月 25 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/9509223.Gasper, G. "q-级数求和与变换公式的初等推导。" In Fields Inst. Comm. 14 (Ed. M. E. H. Ismail et al. ), pp. 55-70, 1997.Gasper, G. and Rahman, M. 基本超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Gosper, R. W. "q-三角学中的实验与发现。" In 符号计算、数论、特殊函数、物理和组合数学。1999 年 11 月 11-13 日在佛罗里达州盖恩斯维尔佛罗里达大学举行的会议记录 (Ed. F. G. Garvan and M. E. H. Ismail). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 79-105, 2001.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, 1979.Hirschhorn, M. D. "Ramanujan Mod 5 分割同余式的另一个简短证明，以及更多。" Amer. Math. Monthly 106, 580-583, 1999.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. 超几何正交多项式的 Askey 方案及其 q-模拟。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, 1-168, 1998.Watson, G. N. "最终问题：Mock Theta 函数的说明。" J. London Math. Soc. 11, 55-80, 1936.Weisstein, E. W. "关于 q-级数的书籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/q-Series.html.Wolfram, S. 一种新科学。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

在 Wolfram|Alpha 中引用

q-级数

引用为

Weisstein, Eric W. “q-级数。”来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/q-Series.html

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