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沃利斯公式

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沃利斯公式源于正弦函数的无穷乘积表示

sinx=xproduct_(n=1)^infty(1-(x^2)/(pi^2n^2)).
(1)

取 x=pi/2 给出

1=pi/2product_(n=1)^infty[1-1/((2n)^2)]=pi/2product_(n=1)^infty[((2n)^2-1)/((2n)^2)],
(2)

因此

pi/2=product_(n=1)^(infty)[((2n)^2)/((2n-1)(2n+1))]
(3)
=(2·2)/(1·3)(4·4)/(3·5)(6·6)/(5·7)...
(4)

(OEIS A052928 和 A063196)。

一个加速乘积由下式给出

pi/2=e^s
(5)
=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(6)

其中

s=sum_(n=1)^infty1/(2^n)sum_(k=0)^n(-1)^(k+1)(n; k)ln(k+1)
(7)

(Guillera 和 Sondow 2005, Sondow 2005)。这类似于乘积

e^gamma=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/3)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/4)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/5)...
(8)

和

e=(2/1)^(1/1)((2^2)/(1·3))^(1/2)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/3)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/4)...
(9)

(Sondow 2005)。

Y. L. Yung (私人通讯，1996年；由 J. Sondow 修改，私人通讯，2002年) 给出的方程 (◇) 的推导定义了

F(s)=-Li_s(-1)
(10)
=1/2+1/2sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n-1)[n^(-s)-(n+1)^(-s)]
(11)
=(1-2^(1-s))zeta(s),
(12)

其中 Li_s(x) 是多对数函数，zeta(n) 是黎曼zeta函数，当 R[s]>-1 收敛。对 (11) 求导给出

F^'(s)=1/2sum_(n=1)^infty(-1)^n[(lnn)/(n^s)-(ln(n+1))/((n+1)^s)],
(13)

当 R[s]>-1 也收敛，代入 s=0 则给出

F^'(0)=1/2sum_(n=1)^(infty)(-1)^n[lnn-ln(n+1)]
(14)
=1/2[(-ln1+ln2)+(ln2-ln3)+(-ln3+ln4)+...]
(15)
=1/2ln((2·2)/(1·3)(4·4)/(3·5)(6·6)/(5·7)...).
(16)

现在，对zeta函数表达式 (◇) 求导给出

d/(ds)(1-2^(1-s))zeta(s)=2^(1-s)(ln2)zeta(s)+(1-2^(1-s))zeta^'(s),
(17)

再次设置 s=0 得到

F^'(0)=[d/(ds)(1-2^(1-s))zeta(s)]_(s=0)
(18)
=-ln2-zeta^'(0)
(19)
=-ln2+1/2ln(2pi)
(20)
=1/2ln(1/2pi),
(21)

其中

zeta^'(0)=-1/2ln(2pi)=-0.918938...
(22)

(OEIS A075700) 源于Hadamard 乘积对于黎曼zeta函数。等式化并平方 (◇) 和 (◇) 则得到沃利斯公式。

这种从 zeta^'(0) 使用 Hadamard 乘积推导沃利斯公式的方法也可以逆转，以从沃利斯公式推导出 zeta^'(0)，而无需使用 Hadamard 乘积 (Sondow 1994)。

沃利斯公式也可以表示为

pi/2=[4^(zeta(0))e^(-zeta^'(0))]^2.
(23)

沃利斯公式的 q-模拟，当 q=1/2 为

product_(k=1)^(infty)(1-q^k)^(-1)=1/((1/2;1/2)_infty)
(24)
=3.4627466194...
(25)

(OEIS A065446; Finch 2003)，其中 (q;a)_infty 是 q-Pochhammer 符号。这个常数是 1/Q，其中 Q 是在数字树搜索中遇到的常数。乘积的形式正是欧拉的生成函数，用于划分函数 P，并且与 q-pi 相关。

另请参阅

Pi 公式, Pippenger 乘积, q-pi, Wallis 余弦公式

此条目的部分内容由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第9版. New York: Dover, p. 258, 1972.Finch, S. R. "阿基米德常数." §1.4 in 数学常数. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 17-28, 2003.Guillera, J. 和 Sondow, J. "通过 Lerch 超越函数的解析延拓得到的经典常数的双重积分和无穷乘积." 2005年6月16日. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "π 的沃利斯公式." §15.07 in 数学物理方法，第3版. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 468, 1988.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. 统计数学，第二部分，第2版. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 63-64, 1951.Sloane, N. J. A. 序列 A052928, A063196, A065446, 和 A075700 in "整数数列线上百科全书."Sondow, J. "通过欧拉级数变换得到的黎曼 zeta 函数的解析延拓和负整数值." Proc. Amer. Math. Soc. 120, 421-424, 1994.Sondow, J. "pi 的更快乘积和 ln(pi/2) 的新积分." Amer. Math. Monthly 112, 729-734, 2005.Wallis, J. Arithmetica Infinitorum. Oxford, England, 1656.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

沃利斯公式

请引用为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "沃利斯公式." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/WallisFormula.html

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