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狄利克雷Eta函数

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狄利克雷eta函数是由 eta(s) 定义的函数，定义如下：

eta(s)=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/(k^s)
(1)
=(1-2^(1-s))zeta(s),
(2)

其中 zeta(s) 是黎曼zeta函数。请注意，Borwein 和 Borwein (1987, p. 289) 使用符号 alpha(s) 而不是 eta(s)。该函数也称为交错zeta函数，并用 zeta^*(s) 表示 (Sondow 2003, 2005)。

eta(0)=1/2 通过在 (2) 的右侧设置 s=0 来定义，而 eta(1)=ln2 (有时称为交错调和级数) 是使用左侧定义的。除了 s=1 之外，该函数在 1-2^(1-s) 的每个零点处消失 (Sondow 2003)。

eta函数与黎曼zeta函数和狄利克雷lambda函数的关系为

(zeta(nu))/(2^nu)=(lambda(nu))/(2^nu-1)=(eta(nu))/(2^nu-2)
(3)

和

zeta(nu)+eta(nu)=2lambda(nu)
(4)

(Spanier 和 Oldham 1987)。 eta函数也是多对数函数的特例，

eta(x)=-Li_x(-1).
(5)

值 eta(1) 可以通过注意到 ln(1+x) 对于 -1<x<=1 的麦克劳林级数为

ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4+....
(6)

因此，自然对数 2 为

ln2=ln(1+1)
(7)
=1-1/2+1/3-1/4+...
(8)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/n
(9)
=eta(1).
(10)

偶数 整数 的值与黎曼zeta函数的解析值有关。特定值在 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 811) 中给出，包括

eta(0)=1/2
(11)
eta(1)=ln2
(12)
eta(2)=1/(12)pi^2
(13)
eta(3)=3/4zeta(3)
(14)
eta(4)=7/(720)pi^4
(15)
eta(5)=(15)/(16)zeta(5).
(16)

它出现在积分中

int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+xy)dxdy=Gamma(s+2)eta(s+2)
(17)

(Guillera 和 Sondow 2005)。

DirichletEtaPrime

eta函数的导数由下式给出

eta^'(x)=2^(1-x)(ln2)zeta(x)+(1-2^(1-x))zeta^'(x).
(18)

特殊情况由下式给出

eta^'(-1)=3lnA-1/4-(ln2)/3
(19)
=0.2652143709...
(20)
eta^'(0)=1/2ln(pi/2)
(21)
=0.2257913526...
(22)
eta^'(1/2)=zeta(1/2)[1/2(3-sqrt(2))ln2-1/4(sqrt(2)-1)(2gamma+pi+2lnpi)]
(23)
=0.1932888316
(24)
eta^'(1)=gammaln2-((ln2)^2)/2
(25)
=0.1598689037...
(26)

(OEIS A271533, OEIS A256358, OEIS A265162, 和 OEIS A091812), 其中 A 是Glaisher-Kinkelin 常数, zeta(z) 是黎曼zeta函数, 并且 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数。 eta^'(0) 的恒等式提供了沃利斯公式的一个显著证明。

另请参阅

戴德金Eta函数, 狄利克雷Beta函数, 狄利克雷Lambda函数, Hadjicostas公式, 黎曼Zeta函数, Zeta函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 807-808, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Guillera, J. 和 Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 2005年6月16日. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. "Real Alternatives." §16.12 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 206-207, 2003.Sloane, N. J. A. 序列 A271533, A256358, A265162, 和 A091812 在 "整数序列在线百科全书" 中.Sondow, J. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R[s]=1." Amer. Math. Monthly 110, 435-437, 2003.Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and ln(4/pi) and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Zeta Numbers and Related Functions." Ch. 3 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 25-33, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

狄利克雷Eta函数

引用此内容为

Weisstein, Eric W. "狄利克雷Eta函数." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/DirichletEtaFunction.html

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