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格莱歇-金克林常数

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格莱歇-金克林常数 A 定义为

lim_(n->infty)(H(n))/(n^(n^2/2+n/2+1/12)e^(-n^2/4))=A
(1)

(Glaisher 1878, 1894, Voros 1987), 其中 H(n) 是超阶乘，以及

lim_(n->infty)(G(n+1))/(n^(n^2/2-1/12)(2pi)^(n/2)e^(-3n^2/4))=(e^(1/12))/A,
(2)

其中 G(n) 是Barnes G-函数。

它有闭式表示

A=e^(1/(12)-zeta^'(-1))
(3)
=(2pi)^(1/12)[e^(gammapi^2/6-zeta^'(2))]^(1/(2pi^2))
(4)
=1.28242712...
(5)

(OEIS A074962) 被称为格莱歇-金克林常数，而 zeta^'(z) 是黎曼zeta函数的导数 (Kinkelin 1860; Jeffrey 1862; Glaisher 1877, 1878, 1893, 1894; Voros 1987)。

常数 A 实现为Glaisher，并出现在许多求和与积分中，特别是那些涉及伽玛函数和zeta函数的。

定积分包括

int_0^(1/2)lnGamma(x+1)dx=-1/2-7/(24)ln2+1/4lnpi+3/2lnA
(6)
int_0^infty(xlnx)/(e^(2pix)-1)dx=1/(24)-1/2lnA
(7)

(Glaisher 1878; Almqvist 1998; Finch 2003, p. 135), 其中 lnGamma(z) 是对数伽玛函数。

Glaisher (1894) 证明了

product_(k=1)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)2^(1/4)3^(1/9)4^(1/16)5^(1/25)...
(8)
=((A^(12))/(2pie^gamma))^(pi^2/6)
(9)
product_(k=1,3,5,...)^(infty)k^(1/k^2)=1^(1/1)3^(1/9)5^(1/25)7^(1/49)9^(1/81)...
(10)
=((A^(36))/(2^4pi^3e^(3gamma)))^(pi^2/24)
(11)

(OEIS A115521 和 A115522; Glaisher 1894)。

它也出现在恒等式中

sum_(k=2)^(infty)(lnk)/(k^2)=-zeta^'(2)
(12)
=1/6pi^2[12lnA-gamma-ln(2pi)]
(13)
=0.93754825431...
(14)
sum_(k=3,5,...)^(infty)(lnk)/(k^2)=pi^2(3/2lnA-1/6ln2-1/8lnpi-1/8gamma)
(15)

(OEIS A073002; Glaisher 1894)，这由上述乘积得出。

Guillera 和 Sondow (2005) 给出

lnA=1/8+sum_(n=0)^infty1/(2(n+1))sum_(k=0)^n(-1)^(k+1)(n; k)(k+1)^2ln(k+1).
(16)

另一个更引人注目的乘积是

product_(k=1)^(infty)((4k+1)^(1/(4k+1)^3))/((4k-1)^(1/(4k-1)^3))=(A/(2^(5/32)pi^(1/32))e^(-3/32-gamma/48+p/4))^(pi^3)
(17)
=(2pi)^(-pi^3/32)e^({3pizeta(3)+pi^3[3-2gamma+128zeta^'(-2,1/4)]}/64)
(18)
=e^(-beta^'(3)),
(19)

其中 beta(z) 是狄利克雷beta函数，且

p=sum_(k=3,5,...)^(infty)(zeta(k))/(4^kk(k+1)(k+2))
(20)
=9/(16)-gamma/(24)+(ln2)/2+4lnA+(3zeta(3))/(16pi^2)-8zeta^'(-2,1/4)
(21)
=3/8+gamma/(12)-(4beta^'(3))/(pi^3)+(5ln2)/8-4lnA+(lnpi)/8
(22)

(Glaisher 1894)。

它也由下式给出

A=2^(1/36)pi^(1/6)e^((-gamma/4+s)/3),
(23)

其中

s=sum_(r=2)^(infty)((-1/2)^r(2^r-1)zeta(r))/(1+r)
(24)
=1/(12)[3+3gamma-36zeta^'(-1)-ln2-6lnpi]
(25)

(Glaisher 1878, 1894; 然而，他未能获得此表达式的闭式形式)。

另请参阅

格莱歇-金克林常数连分数, 格莱歇-金克林常数数字

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Constants/Glaisher/

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参考文献

Almkvist, G. "Asymptotic Formulas and Generalized Dedekind Sums." Experim. Math. 7, 343-356, 1998.Finch, S. R. "Glaisher-Kinkelin Constant." §2.15 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 135-145, 2003.Glaisher, J. W. L. "On the Product 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Glaisher, J. W. L. "On Certain Numerical Products in which the Exponents Depend Upon the Numbers." Messenger Math. 23, 145-175, 1893.Glaisher, J. W. L. "On the Constant which Occurs in the Formula for 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 24, 1-16, 1894.Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 88 and 113, 2003.Jeffrey, H. M. "On the Expansion of Powers of the Trigonometrical Ratios in Terms of Series of Ascending Powers of the Variables." Messenger Math. 5, 91-108, 1862.Kinkelin. "Über eine mit der Gammafunktion verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung." J. reine angew. Math. 57, 122-158, 1860.Sloane, N. J. A. Sequences A074962, A087501, A099791, A099792, A115521, and A115522 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Voros, A. "Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function." Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

格莱歇-金克林常数

请引用为

Weisstein, Eric W. “格莱歇-金克林常数。” 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Glaisher-KinkelinConstant.html

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