主题
Search

欧拉恒等式

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

对于 |z|<1，

product_(k=1)^infty(1+z^k)=product_(k=1)^infty(1-z^(2k-1))^(-1).
(1)

这两者都有闭式表示

1/2(-1;z)_infty,
(2)

其中 (a;q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号。

展开并对任意一边在零附近进行级数展开得到

1+z+z^2+2z^3+2z^4+3z^5+4z^6+5z^7+...,
(3)

给出 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, ... (OEIS A000009)，即，将 n 分割成不同部分 Q(n) 的分割数。

另请参阅

欧拉公式, Jacobi 三重积, 分割函数 Q, q-级数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bailey, W. N. 广义超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 72, 1935.Franklin, F. "Sur le developpement du produit infini (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)...。" Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 92, 448-450, 1881.Hardy, G. H. §6.2 in 拉马努金：关于其生平和工作启发的十二次讲座，第三版。 New York: Chelsea, pp. 83-85, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. §19.11 in 数论导论，第五版。 Oxford, England: Clarendon Press, 1979.MacMahon, P. A. 组合分析，卷 2。 New York: Chelsea, pp. 21-23, 1960.Nagell, T. 数论导论。 New York: Wiley, p. 55, 1951.Sloane, N. J. A. Sequence A000009/M0281 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

欧拉恒等式

引用为

Weisstein, Eric W. "欧拉恒等式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulerIdentity.html

主题分类