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关联维数

将关联积分定义为

C(epsilon)=lim_(N->infty)1/(N^2)sum_(i,j=1; i!=j)^inftyH(epsilon-|x_i-x_j|),
(1)

其中 H 是 Heaviside 阶跃函数。当以下极限存在时，关联维数定义为

D_2=d_(cor)=lim_(epsilon,epsilon^'->0^+)(ln[(C(epsilon))/(C(epsilon^'))])/(ln(epsilon/(epsilon^'))).
(2)

如果 nu 是 关联指数，则

lim_(epsilon->0)nu->D_2.
(3)

它满足

d_(correlation)<=d_(information)<=d_(capacity)
(4)

其中 d_(capacity) 是 容度维数，d_(information) 是 信息维数（更正了 Baker 和 Gollub 1996 年的印刷错误），并且被推测等于 李雅普诺夫维数。

为了以 (1-Q) 的精度估计 M 维系统的关联维数，需要 N_(min) 个数据点，其中

N_(min)>=[(R(2-Q))/(2(1-Q))]^M,
(5)

其中 R>=1 是“平稳区域”的长度。如果存在 吸引子，则 D_2 的估计值在某个 M 之上饱和，由下式给出

M>=2D+1,
(6)

这有时被称为分形 Whitney 嵌入普遍性定理。

另请参阅

容度维数, 关联指数, 信息维数, q-维数

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参考文献

Baker, G. L. 和 Gollub, J. B. 混沌动力学：导论，第二版。 英国剑桥：剑桥大学出版社，1996 年。Nayfeh, A. H. 和 Balachandran, B. 应用非线性动力学：分析、计算和实验方法。 美国纽约：Wiley 出版社，第 547-548 页，1995 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

关联维数

请引用为

Weisstein, Eric W. “关联维数”。来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CorrelationDimension.html

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