Codimension

Codimension 是一个在许多代数和几何语境中使用的术语，用来表示某些对象的维度与包含在其中的较小对象的维度之间的差异。 这个粗略的定义适用于向量空间（子空间 在 中的 codimension 是 ）和拓扑空间（关于欧几里得拓扑和 Zariski 拓扑，球体在 中的 codimension 是 ）。

第一个例子是以下公式的一个特例

(1)

该公式给出了有限维抽象向量空间 的子空间 的 codimension。 第二个例子在环论中有一个代数对应物。 三维实数 欧几里得空间 中的球体由以下笛卡尔坐标方程定义

(2)

其中点 是中心， 是半径。 多项式环 的 Krull 维度是 3，商环 商环 的 Krull 维度是

(3)

是 2，差值 也被称为理想的 codimension

(4)

根据 Krull 主理想定理，它的 height 也等于 1。 另一方面，可以证明对于域上多项式环中的每个真理想 ，。 这是因为这些环都是 Cohen-Macaulay 环。 在不满足此假设的环中，通常只有不等式 成立。