向量基

向量空间 的向量基定义为向量子集 ，这些向量在 中是线性无关的，并且张成 。因此，如果 是 中的向量列表，那么这些向量构成向量基当且仅当每个 可以唯一地写成

(1)

其中 , ..., 是基域的元素。

当基域为实数时，使得 对于 ，得到的基向量是张成 维欧几里得空间 的 元组实数。其他可能的基域包括复数 ，以及代数、数论和代数几何中考虑的各种正特征域。

向量空间 有许多不同的向量基，但每个基中总是具有相同数量的基向量。 中基向量的数量称为 的维度。向量空间中的每个张成列表都可以简化为向量空间的基。

向量基最简单的例子是 欧几里得空间 中的标准基，其中基向量沿着每个坐标轴。基变换可以用于将给定基中的向量（和算符）变换到另一个基中。

给定一个由下式定义的超平面

(2)

可以通过求解 关于 、、 和 的表达式来找到基。执行此过程，

(3)

因此

(4)

并且上述向量构成（未归一化的）基。

给定一个具有标准正交基的矩阵 ，用原始 表示的基变换对应的矩阵为

(5)

当向量空间是无限维时，只要假设选择公理，就存在基。基的线性无关子集，其张成是稠密的，称为完全集，类似于基。当 是希尔伯特空间时，完全集称为希尔伯特基。