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超立方体

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Hypercube

超立方体是将 3-立方体推广到 n 维的几何体，也称为 n-立方体或测度多胞形。它是一个具有相互垂直边的正多胞形，因此也是一个长方体。它用 gamma_n 表示，Schläfli 符号为 {4,3,3_()_(n-2)}。

下表总结了 n-维超立方体的名称。

n对象
1线段
2正方形
3立方体
4四维超立方体

包含在 n-立方体中的 k-立方体的数量可以从 系数 (2k+1)^n 中找到，即 (n; k)2^(n-k)，其中 (n; k) 是一个二项式系数。因此，n-超立方体中的节点数为 2^n (OEIS A000079)，边的数量为 2^(n-1)n (OEIS A001787)，正方形的数量为 2^(n-3)n(n-1) (OEIS A001788)，立方体的数量为 2^(n-4)n(n-1)(n-2)/3 (OEIS A001789)，等等。

对于 n=1, 2, ...，n-超立方体的不同网格的数量分别为 1, 11, 261, ... (OEIS A091159; Turney 1984-85)。

TesseractProjection

上图显示了四维超立方体在三维空间中的投影。一个四维超立方体有 16 个多胞形顶点，32 条多胞形边，24 个正方形和 8 个立方体。

四维超立方体的对偶被称为 16-胞体。对于所有维度，超立方体的对偶是交叉多胞形（反之亦然）。

五维超立方体的等距投影与大菱形三十面体一起出现在 Coxeter 关于多胞形的著名书籍的封面上 (Coxeter 1973)。

Wilker (1996) 考虑了 n-立方体中使其到其顶点距离的乘积最大化的点 (Trott 2004, p. 104)。下表总结了对于小 n 的结果。

nproductd_i^2最大点
2(25)/(256)(0,1/2)
3(50625)/(65536)(0,0,1/2)
4(1403336390625)/(4294967296)(0,0,0,1/2)

另请参阅

交叉多胞形, 立方体, 立方体连接环图, 球形超体, 哈密顿图, 超立方体图, 超立方体线段选取, 超球面, 长方体, 平行六面体, 多胞形, 单纯形, 四维超立方体 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Born, M. Problems of Atomic Dynamics. Cambridge, MA: MIT Press, 1926.Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 123, 1973.Dewdney, A. K. "Computer Recreations: A Program for Rotating Hypercubes Induces Four-Dimensional Dementia." Sci. Amer. 254, 14-23, Mar. 1986.Fischer, G. (Ed.). Plates 3-4 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-5, 1986.Gardner, M. "Hypercubes." Ch. 4 in Mathematical Carnival: A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage Books, pp. 41-54, 1977.Geometry Center. "The Tesseract (or Hypercube)." http://www.geom.umn.edu/docs/outreach/4-cube/.Pappas, T. "How Many Dimensions Are There?" The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 204-205, 1989.Skiena, S. "Hypercubes." §4.2.5 in Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 148-150, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A001787/M3444, A001788/M4161, A001789/M4522, and A091159 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Hypercube Projections." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_04.Turney, P. D. "Unfolding the Tesseract." J. Recr. Math. 17, No. 1, 1-16, 1984-85.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 113-114 and 210, 1991.Wilker, J. B. "An Extremum Problem for Hypercubes." J. Geom. 55, 174-181, 1996.Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, 1979.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

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请引用为

Weisstein, Eric W. "Hypercube." 摘自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Hypercube.html

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