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q-维数

D_q=1/(1-q)lim_(epsilon->0)(lnI(q,epsilon))/(ln(1/epsilon),)
(1)

其中

I(q,epsilon)=sum_(i=1)^Nmu_i^q,
(2)

epsilon 是盒子大小，而 mu_i 是自然测度。

容量维数（又称盒子计数维数）由 q=0 给出，

D_0=1/(1-0)lim_(epsilon->0)(ln(sum_(i=1)^(N(epsilon))1))/(-lnepsilon)
(3)
=-lim_(epsilon->0)(ln[N(epsilon)])/(lnepsilon).
(4)

如果所有 mu_i 都相等，则对于任何 q 都可以获得容量维数。

信息维数对应于 q=1，由下式给出

D_1=lim_(q->1)D_q
(5)
=lim_(q->1)(lim_(epsilon->0)(ln[sum_(i=1)^(N(epsilon))mu_i^q])/(-lnepsilon))/(1-q)
(6)
=lim_(epsilon->0)lim_(q->1)(ln(sum_(i=1)^(N(epsilon))mu_i^q))/((q-1)lnepsilon).
(7)

但是对于分子，

lim_(q->1)ln(sum_(i=1)^(N(epsilon))mu_i^q)=ln(sum_(i=1)^(N(epsilon))mu_i)=ln1=0,
(8)

对于分母，lim_(q->1)(q-1)=0，因此使用 洛必达法则 得到

D_1=lim_(epsilon->0)(1/(lnepsilon)lim_(q->1)(summu_i^qlnmu_i)/1).
(9)

因此，

D_1=lim_(epsilon->0)(sum_(i=1)^(N(epsilon))mu_ilnmu_i)/(lnepsilon)
(10)

（Ott 1993，第 79 页）。

D_2 被称为关联维数。

如果 q_1>q_2，那么

D_(q_1)<=D_(q_2)
(11)

（Ott 1993，第 79 页）。

另请参阅

容量维数，关联维数，分形维数，信息维数

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参考文献

Grassberger, P. "Generalized Dimensions of Strange Attractors." Phys. Lett. A 97, 227, 1983.Hentschel, H. G. E. and Procaccia, I. "The Infinite Number of Generalized Dimensions of Fractals and Strange Attractors." Physica D 8, 435, 1983.Ott, E. "Measure and the Spectrum of D_q Dimensions." §3.3 in Chaos in Dynamical Systems. New York: Cambridge University Press, pp. 78-81, 1993.Rényi, A. Probability Theory. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1970.

在 Wolfram|Alpha 上引用

q-维数

请引用为

Weisstein, Eric W. "q-维数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-Dimension.html

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