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环

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在数学意义上，环是一个集合 S 以及两个二元运算符 + 和 * （通常分别解释为加法和乘法），满足以下条件

1. 加法结合律：对于所有 a,b,c in S， (a+b)+c=a+(b+c)，

2. 加法交换律：对于所有 a,b in S， a+b=b+a，

3. 加法单位元：存在一个元素 0 in S 使得对于所有 a in S， 0+a=a+0=a，

4. 加法逆元：对于每个 a in S 存在 -a in S 使得 a+(-a)=(-a)+a=0，

5. 左分配律和右分配律：对于所有 a,b,c in S， a*(b+c)=(a*b)+(a*c) 和 (b+c)*a=(b*a)+(c*a)，

6. 乘法结合律：对于所有 a,b,c in S， (a*b)*c=a*(b*c) （满足此性质的环有时明确地称为结合环）。

条件 1-5 始终是必需的。尽管存在非结合环，但几乎所有文本也要求条件 6（Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris and Stocker 1998; Knuth 1998; Korn and Korn 2000; Bronshtein and Semendyayev 2004）。

环也可能满足各种可选条件

7. 乘法交换律：对于所有 a,b in S， a*b=b*a （满足此性质的环称为交换环）。

8. 乘法单位元：存在一个元素 1 in S 使得对于所有 a!=0 in S， 1*a=a*1=a （满足此性质的环称为单位环，或有时称为“带单位元的环”）。

9. 乘法逆元：对于每个 a!=0 在 S 中，存在一个元素 a^(-1) in S 使得对于所有 a!=0 in S， a*a^(-1)=a^(-1)*a=1，其中 1 是单位元。

满足所有附加属性 6-9 的环称为域，而仅满足附加属性 6、8 和 9 的环称为除法代数（或斜域）。

一些作者偏离了通常的约定，并（根据他们的定义）要求环包括附加属性。例如，Birkhoff 和 Mac Lane (1996) 将环定义为具有乘法单位元（即属性 8）。

以下是一些缺少特定条件的环的示例

1. 没有乘法结合律（有时也称为非结合代数）：八元数，OEIS A037292，

2. 没有乘法交换律：实值2×2 矩阵，四元数，

3. 没有乘法单位元：偶数值整数，

4. 没有乘法逆元：整数。

单词 ring 是德语单词“Zahlring”（数环）的缩写。法语中环的单词是 anneau，现代德语单词是 Ring，两者都（毫不奇怪地）意思是“环”。Fraenkel (1914) 给出了环的第一个抽象定义，尽管这项工作没有产生太大影响。Hilbert 引入了这个术语来描述像这样的环

Z[RadicalBox[2, 3]]={a+bRadicalBox[2, 3]+cRadicalBox[4, 3] such that a,b,c in Z}.

通过连续乘以新元素 RadicalBox[2, 3]，它最终循环回到已生成的内容，类似于环，也就是说， (RadicalBox[2, 3])^2=RadicalBox[4, 3] 是新的，但 (RadicalBox[2, 3])^3=2 是整数。所有代数数都具有此属性，例如， eta=sqrt(2)+sqrt(3) 满足 eta^4=10eta^2-1。

环必须包含至少一个元素，但不必包含乘法单位元或为交换环。对于 n = 1、2、...，具有 n 个元素的有限环的数量分别为 1、2、2、11、2、4、2、52、11、4、2、22、2、4、4、... (OEIS A027623 和 A037234; Fletcher 1980)。如果 p 和 q 是素数，则大小为 p 的环有两个，大小为 pq 的环有四个，大小为 p^2 的环有 11 个（Singmaster 1964, Dresden），大小为 p^2q 的环有 22 个，大小为 p^3 的环有 52 个（对于 p=2 ），大小为 p^3 的环有 53 个（对于 p>2 ）（Ballieu 1947, Gilmer and Mott 1973; Dresden）。

在乘法下交换、具有单位元且没有零因子的环称为整环。非零元素形成交换乘法群的环称为域。最简单的环是整数 Z ，多项式 R[x] 和 R[x,y] （在一个和两个变量中），以及方阵 n×n 实矩阵。

已经研究并发现有趣的环通常以其一个或多个研究者的名字命名。不幸的是，这种做法导致名称几乎无法深入了解相关环的属性。

Renteln 和 Dundes (2005) 给出了以下关于环的（糟糕的）数学笑话

问：什么是加法下的阿贝尔群，封闭的、结合的、分配的，并且带有诅咒？答：尼伯龙根的指环。

另请参阅

阿贝尔群, 阿廷环, 周环, 戴德金环, 除法代数, 自同态环, 域, Gorenstein 环, 群, 群环, 理想, 整环, 模, 幂零元素, 诺特环, 非交换环, 数域, 素环, Prüfer 环, 商环, 正则环, 整数环, 环群胚, 半素环, 半环, 半单环, 单环, 平凡环, 单位环, 零因子 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Allenby, R. B. Rings, Fields, and Groups: An Introduction to Abstract Algebra, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1991.Ballieu, R. "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif." Ann. Soc. Sci. Bruxelles. Sér. I 61, 222-227, 1947.Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Berrick, A. J. and Keating, M. E. An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000.Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillian, 1996.Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, G.; and Muehlig, H. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004.Dresden, G. "Small Rings." http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/.Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.Fine, B. "Classification of Finite Rings of Order p^2." Math. Mag. 66, 248-252, 1993.Fletcher, C. R. "Rings of Small Order." Math. Gaz. 64, 9-22, 1980.Fraenkel, A. "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen." J. reine angew. Math. 145, 139-176, 1914.Gilmer, R. and Mott, J. "Associative Rings of Order p^3." Proc. Japan Acad. 49, 795-799, 1973.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.Itô, K. (Ed.). "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, 1986.Kleiner, I. "The Genesis of the Abstract Ring Concept." Amer. Math. Monthly 103, 417-424, 1996.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: Dover, 2000.Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19-21, 1951.Renteln, P. and Dundes, A. "Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor." Notices Amer. Math. Soc. 52, 24-34, 2005.Singmaster, D. and Bloom, D. M. "Problem E1648." Amer. Math. Monthly 71, 918-920, 1964.Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."van der Waerden, B. L. A History of Algebra. New York: Springer-Verlag, 1985.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1995.

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Weisstein, Eric W. “环。”来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Ring.html

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