除代数

除代数，也称为“除环”或“斜域”，是一个 环，其中每个 非零元素都有乘法逆元，但乘法不一定是 交换的。 因此，每个 域也是一个除代数。 在法语中，术语“corps non commutatif”用于表示除代数，而单独的“corps”表示 域。

明确地，除代数是一个集合，连同两个 二元运算符 满足以下条件

1. 加法结合律：对于所有 ， 。

2. 加法交换律：对于所有 ， 。

3. 加法单位元：存在一个元素 ，使得对于所有 ， 。

4. 加法逆元：对于每个 ，存在一个元素 ，使得 。

5. 乘法结合律：对于所有 ， 。

6. 乘法单位元：存在一个元素 不等于 0，使得对于所有 ， 。

7. 乘法逆元：对于每个 不等于 0，存在 ，使得 。

8. 左分配律和右分配律：对于所有 ， 和 。

因此，除代数 是一个 单位环，对于该环， 是一个 群。 除代数必须至少包含两个元素。 交换除代数称为 域。

在 1878 年和 1880 年，弗罗贝尼乌斯和皮尔斯证明了唯一的结合实除代数是 实数、复数和 四元数 (Mishchenko 和 Solovyov 2000)。 凯莱代数是唯一的 非结合除代数。 赫尔维茨 (1898) 证明了 代数的 实数、复数、四元数和 凯莱数是单位“向量”乘法保持距离的唯一代数。

亚当斯 (1958, 1960) 证明了 n 维向量形成一个 代数，其中除法（除了除以 0 之外）总是只在 、2、4 和 8 时才有可能。 博特和米尔诺 (1958) 证明了唯一的有限维实除代数出现在维度 、2、4 和 8 时。 每种情况都产生一个具有特别有用的物理应用的 代数（然而，它本身不一定是结合的），这四种情况分别对应于 实数、复数、四元数和 凯莱数。