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四元数

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四元数是由威廉·罗文·汉密尔顿首次发明的非交换 除法代数 的成员。汉密尔顿在前往爱尔兰科学院会议的路上沿着皇家运河散步时，想到了四元数的概念。汉密尔顿对他的发现非常满意，以至于他将四元数代数的基本公式刻在了

i^2=j^2=k^2=ijk=-1,
(1)

布鲁厄姆桥的石头上（Mishchenko 和 Solovyov 2000）。四元数的集合用 H, H, 或 Q_8 表示，四元数是由汉密尔顿发现的更一般的 超复数 类别的单个示例。虽然四元数不是可交换的，但它们是结合的，并且它们形成一个称为 群 的 四元数群。

类似于 复数 可以表示为 实部 和 虚部 之和，a·1+bi，四元数也可以写成线性组合

H=a·1+bi+cj+dk.
(2)

四元数 a+bi+cj+dk 在四元数[a, b, c, d] 在 Wolfram 语言 包中实现为Quaternions`但是，其中 a, b, c, 和 d 必须是显式实数。另请注意，NonCommutativeMultiply(即，**) 必须用于这些对象的乘法，而不是通常的乘法（即，*).

在四元数空间中可以探索各种 分形。例如，固定 j=k=0 得到复平面，从而得到 曼德勃罗集。通过将 j 或 k 固定为不同的值，已经产生了三维四元数分形（Sandin et al. , Meyer 2002, Holdaway 2006）。

四元数可以使用复数 2×2 矩阵 表示

H=[z w; -w^_ z^_]=[a+ib c+id; -c+id a-ib],
(3)

其中 z 和 w 是 复数，a, b, c, 和 d 是 实数，并且 z^_ 是 z 的 复共轭。

四元数也可以使用复数 2×2 矩阵表示

U=[1 0; 0 1]
(4)
I=[i 0; 0 -i]
(5)
J=[0 1; -1 0]
(6)
K=[0 i; i 0]
(7)

（Arfken 1985，第 185 页）。请注意，这里 U 用于表示 单位矩阵，而不是 I。这些矩阵与 泡利矩阵 sigma_x, sigma_y, 和 sigma_z 以及 单位矩阵 密切相关。

从上面的定义可以得出：

I^2=-U
(8)
J^2=-U
(9)
K^2=-U.
(10)

因此，I, J, 和 K 是矩阵方程的三个本质上不同的解

X^2=-U,
(11)

这可以被认为是负单位矩阵的平方根。具有整数系数的基四元数的 线性组合 有时称为 哈密顿整数。

在 R^4 中，四元数的基可以由下式给出

i=[0 1 0 0; -1 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 -1 0]
(12)
j=[0 0 0 -1; 0 0 -1 0; 0 1 0 0; 1 0 0 0]
(13)
k=[0 0 -1 0; 0 0 0 1; 1 0 0 0; 0 -1 0 0]
(14)
1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1].
(15)

四元数满足以下恒等式，有时称为 汉密尔顿规则，

i^2=j^2=k^2=-1
(16)
ij=-ji=k
(17)
jk=-kj=i
(18)
ki=-ik=j.
(19)

它们具有以下乘法表。

1ijk
11ijk
ii-1k-j
jj-k-1i
kkj-i-1

四元数 +/-1, +/-i, +/-j, 和 +/-k 形成一个阶数为 8 的 非阿贝尔 群（以乘法作为群运算）。

四元数可以写成以下形式

a=a_1+a_2i+a_3j+a_4k.
(20)

四元数共轭 由下式给出

a^_=a_1-a_2i-a_3j-a_4k.
(21)

那么，两个四元数的和为

a+b=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)i+(a_3+b_3)j+(a_4+b_4)k,
(22)

并且两个四元数的乘积为

ab=(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)+(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)i+(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)j+(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)k.
(23)

四元数范数 因此定义为

n(a)=sqrt(a^_a)=sqrt(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2).
(24)

在这种表示法中，四元数与 四维向量 密切相关。

通过写作，四元数可以解释为 标量 加上 向量

a=a_1+a_2i+a_3j+a_4k=(a_1,a),
(25)

其中 a=[a_2a_3a_4]。在这种表示法中，四元数乘法具有特别简单的形式

q_1q_2=(s_1,v_1)·(s_2,v_2)
(26)
=(s_1s_2-v_1·v_2,s_1v_2+s_2v_1+v_1xv_2).
(27)

除法是唯一确定的（零除外），因此四元数构成一个 除法代数。四元数的倒数（倒数）由下式给出

a^(-1)=(a^_)/([n(a)]^2),
(28)

并且范数是乘法的

n(ab)=n(a)n(b).
(29)

事实上，两个四元数范数的乘积立即给出了 欧拉四平方恒等式。

可以使用四元数计算绕 单位向量 n^^ 旋转角度 theta 的旋转

q=(s,v)=(cos(1/2theta),n^^sin(1/2theta))
(30)

（Arvo 1994，Hearn 和 Baker 1996）。此四元数的组成部分称为 欧拉参数。旋转后，点 p=(0,p) 由下式给出

p^'=qpq^(-1)=qpq^_,
(31)

因为 n(q)=1。两个旋转的串联，先是 q_1，然后是 q_2，可以使用恒等式计算

q_2(q_1pq^__1)q^__2=(q_2q_1)p(q^__1q^__2)=(q_2q_1)pq_2q_1^_
(32)

（Goldstein 1980）。

参见

双四元数, 卡莱-克莱因参数, 复数, 除法代数, 欧拉参数, 四维向量, 哈密顿整数, 超复数, 八元数, 四元数共轭, 四元数群, 四元数范数 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中引用

四元数

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "四元数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Quaternion.html

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