理想

理想是在环中元素的子集，它构成一个加法群，并具有以下性质：每当属于，且属于时，则和属于。例如，偶数整数的集合是整数环中的一个理想。给定一个理想，可以定义一个商环。理想通常使用哥特字体表示。

有限生成理想是由有限列表、、...、生成的，并且包含所有形如的元素，其中系数是环的任意元素。生成器的列表不是唯一的，例如整数中的。

在数环中，理想可以表示为格，并且可以给出代数整数的有限基，这些基加法地生成理想。同一个格的任意两个基是等价的。理想有乘法运算，这基本上是两个基的克罗内克积。上面的图示显示了高斯整数中由2和生成的理想，其中理想的元素用红色表示。

从代数几何的角度来看，理想对应于簇。

对于任何理想，都存在一个理想，使得

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其中是一个主理想（即，秩为 1 的理想）。此外，存在一个有限的理想列表，使得对于每个，此方程都可能成立。此列表的大小称为类数。实际上，上述关系在理想上施加了一个等价关系，而模此关系的理想数就是类数。当类数为 1 时，相应的数环具有唯一分解性，并且在某种意义上，类数是原始数环中唯一分解失败程度的度量。

1871 年，戴德金证明了域的整数域中的每个非零理想都是素理想的唯一乘积，实际上，的所有理想都具有这种形式，因此都是主理想。

理想可以相加、相乘和相交。理想的并通常不是理想，因为它可能不满足加法封闭性。从代数几何的角度来看，理想的加法对应于簇的交集，而理想的交集对应于簇的并集。此外，理想的乘法对应于簇的并集。

交集和乘法是不同的，例如考虑在中的理想。那么

(2)

有时它们是相同的。如果，那么

(3)

还有除法的类似物，理想商，以及根的类似物，也称为理想根。给定一个环同态，中的理想扩张到中的理想，而中的理想收缩到中的理想。

以下公式总结了理想的运算，其中表示收缩，表示理想扩张，而表示理想商

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如果是一个代数，的左（右）理想是的子空间，使得当 且时，有。双边理想是的子集，它既是左理想又是右理想。对于每个代数和元素，集合和分别是左理想和右理想的例子，而是双边理想的例子。