乘法单位元

在一个集合 中，配备一个称为积的二元运算 ，乘法单位元是一个元素 使得

对于所有 。例如，它可以是乘法群的单位元素或含幺环的幺元。在这两种情况下，它通常都表示为 1。事实上，数字 1 是整数环 及其扩张环（如环）的乘法单位元，例如高斯整数 ，有理数域 ，实数域 ，以及复数域 。数字 1 的剩余类 是商环 的乘法单位元，对于所有整数 。

如果 是一个交换含幺环，则常数多项式 1 是每个多项式环 的乘法单位元。

在布尔代数中，如果运算 被视为积，则乘法单位元是全上界 。在集合 的幂集 中，这就是全集 。

平凡环 的唯一元素同时是加法单位元和乘法单位元。

在集合 上的映射群中（例如，变换群或对称群），其中积是映射合成，乘法单位元是 上的恒等映射。

在含幺环中取值的 矩阵集合中，乘法单位元（关于矩阵乘法）是单位矩阵。这也是域 上的一般线性群 及其所有子群的乘法单位元。

并非所有乘法结构都具有乘法单位元。例如，所有行列式等于零的 矩阵的集合在乘法下是封闭的，但此集合不包含单位矩阵。