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费马点

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在给定三角形 △ABC DeltaABC 中，所有角都小于 120 degrees (2pi/3)，第一费马点 X 或 F_1 (有时简称为“费马点”、托里切利点或第一等角中心) 是点 X，它使得到 A、 B 和 C 的距离之和最小，

|AX|+|BX|+|CX|.
(1)

这个问题被称为 费马问题 或 斯坦纳线段问题 (Courant and Robbins 1941)，由费马向托里切利提出。托里切利的解法由他的学生维维亚尼于 1659 年发表 (Johnson 1929)。第一费马点具有等价的三角形中心函数

alpha=csc(A+1/3pi)
(2)
alpha=bc[c^2a^2+(c^2+a^2-b^2)^2][a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2][4Delta-sqrt(3)(b^2+c^2-a^2)]
(3)

并且是 Kimberling 中心 X_(13) (Kimberling 1998, p. 67)。

如果三角形的所有角都小于 120 degrees (2pi/3)，则第一费马点是内部点 X，从该点每条边都张角 120 degrees，即，

∠BXC=∠CXA=∠AXB=120 degrees.
(4)

第一费马点可以通过在给定三角形外部绘制等边三角形并连接相对顶点来构造。图中的三条对角线然后相交于第一费马点。

第二费马点 X^' 或 F_2 以类似的方式构造，使用指向内部的等边三角形。它具有三角形中心函数

alpha=csc(A-1/3pi)
(5)

并且是 Kimberling 中心 X_(14) (Kimberling 1998, p. 68)。

反足三角形 X 的 X 是等边三角形，面积为面积

Delta^'=2Delta[cotomegacot(1/3pi)+1]
(6)
=2Delta(1/3sqrt(3)cotomega+1),
(7)

其中 omega 是 Brocard 角。 反足三角形 X' 的 X^' 也是一个等边三角形，面积为面积

Delta^('')=2Delta[cotomegacot(1/3pi)-1]
(8)
=2Delta(1/3sqrt(3)cotomega-1).
(9)

费马点也称为等角中心，因为它们是等力点的等角共轭。

FermatPointCollinearity

两个费马点与 DeltaABC 的类似中线点共线，并且与线段 GH 的中点共线，其中 G 是三角形重心，H 是 DeltaABC 的垂心（左图）。此外，两个费马点的中点位于 DeltaABC 的九点圆上（右图）。

给定三个正实数 l,m,n，“广义”费马点是给定锐角三角形 DeltaABC 的点 P，使得

l·PA+m·PB+n·PC
(10)

为最小值 (Greenberg and Robertello 1965, van de Lindt 1966, Tong and Chua 1995)

另请参阅

Brocard 角, 等边三角形, 费马轴线, 第一费马点, 等力点, 等角共轭, Lester 圆, 第二费马点, 斯坦纳线段问题

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参考文献

Courant, R. and Robbins, H. 什么是数学？，第二版。 牛津，英格兰：牛津大学出版社，1941 年。Gallatly, W. "等角点。" §151 in 现代三角形几何，第二版。 伦敦：霍奇森，p. 107, 1913.Greenberg, I. and Robertello, R. A. "三工厂问题。" 数学杂志 38, 67-72, 1965.Honsberger, R. 数学瑰宝 I。 华盛顿特区：美国数学协会，pp. 24-34, 1973.Johnson, R. A. 现代几何：三角形和圆的几何学基础教程。 波士顿，马萨诸塞州：霍顿·米夫林，pp. 221-222, 1929.Kimberling, C. "三角形平面中的中心点和中心线。" 数学杂志 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" 国会 Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "费马点。" http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/fermat.html.Kimberling, C. "三角形中心百科全书：X(13)=第一等角中心。" http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X13.Kimberling, C. "三角形中心百科全书：X(14)=第二等角中心。" http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X14.Mowaffaq, H. "寻找费马点的高等微积分方法。" 数学杂志 67, 29-34, 1994.Nelson, D. "拿破仑再探。" 数学公报 58, 108-116, 1974.Pottage, J. 几何研究。 阅读，马萨诸塞州：艾迪生-韦斯利，1983.Spain, P. G. "三角形的费马点。" 数学杂志 69, 131-133, 1996.Tong, J. and Chua, Y. S. "广义费马点。" 数学杂志 68, 214-215, 1995.van de Lindt, W. J. "三工厂问题的几何解法。" 数学杂志 39, 162-165, 1966.Wells, D. 企鹅好奇与趣味几何词典。 米德尔塞克斯，英格兰：企鹅出版社，pp. 75-76, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

费马点

引用为

Weisstein, Eric W. "费马点。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FermatPoints.html

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