最小曲面

最小曲面被定义为平均曲率为零的曲面。一个参数化为 的最小曲面因此满足拉格朗日方程，

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(Gray 1997, p. 399).

寻找具有特定约束边界的最小曲面是变分法中的一个问题，有时被称为普拉托问题。最小曲面也可以被描述为在给定边界条件下具有最小表面积的曲面。 平面是一个平凡的最小曲面，而第一个非平凡的例子（悬链面和螺旋面）是由 Meusnier 在 1776 年发现的 (Meusnier 1785)。寻找斜四边形的最小边界曲面的问题由 Schwarz 在 1890 年解决 (Schwarz 1972)。

请注意，虽然球体在某种意义上是一个“最小曲面”，因为它最小化了表面积与体积的比率，但它不符合数学家使用的最小曲面的定义。

欧拉证明，当且仅当最小曲面在每一点的高斯曲率为零时，它才是平面的，因此它在局部是鞍形的。一般情况解的存在性由 Douglas (1931) 和 Radó (1933) 独立证明，尽管他们的分析不能排除奇点的可能性。Osserman (1970) 和 Gulliver (1973) 表明，最小化解不能有奇点。

200 年来已知的唯一完整的（无边界的）、嵌入的（无自相交的）有限拓扑最小曲面是悬链面、螺旋面和平面。Hoffman 发现了一个三端的亏格 1 最小嵌入曲面，并证明了存在无限多个这样的曲面。也发现了四端的嵌入最小曲面。L. Bers 证明了单值参数化最小曲面的任何有限孤立奇点都是可移除的。

曲面可以使用等温参数化进行参数化。如果坐标函数 是调和的，即 是解析的，则这种参数化是最小的。因此，最小曲面可以由一组解析函数的三元组定义，使得

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然后，实参数化获得为

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但是，对于一个解析函数 和一个亚纯函数 ，函数的三元组

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是解析的。这给出了用 Enneper-Weierstrass 参数化表示的最小曲面

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一个被称为“Karcher 的雅可比椭圆鞍形塔”的最小曲面出现在 1999 年 6 月/7 月号的美国数学会通告封面上 (Karcher and Palais 1999)。