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最小旋转曲面

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变分法 可以用来找到从点 (x_1,y_1) 到点 (x_2,y_2) 的曲线，当这条曲线绕 x 轴 旋转时，会产生具有最小 表面积 A 的曲面（即 最小曲面）。这等价于找到穿过两个圆形线框的 最小曲面。面积 元素是

dA=2piyds=2piysqrt(1+y^('2))dx,
(1)

因此 表面积 是

A=2piintysqrt(1+y^('2))dx,
(2)

而我们正在最小化的量是

f=ysqrt(1+y^'^2).
(3)

这个方程有 f_x=0，所以我们可以使用 贝尔特拉米恒等式

f-y_x(partialf)/(partialy_x)=a
(4)

得到

ysqrt(1+y^('2))-y^'(yy^')/(sqrt(1+y^('2)))=a
(5)
y(1+y^('2))-yy^('2)=asqrt(1+y^('2))
(6)
y=asqrt(1+y^('2))
(7)
y/(sqrt(1+y^('2)))=a
(8)
(y^2)/(a^2)-1=y^('2)
(9)
(dx)/(dy)=1/(y^')=a/(sqrt(y^2-a^2))
(10)
x=aint(dy)/(sqrt(y^2-a^2))=acosh^(-1)(y/a)+b
(11)
y=acosh((x-b)/a),
(12)

这被称为 悬链线，通过旋转它生成的曲面被称为 悬链面。两个常数 a 和 b 由以下两个隐式方程确定

y_1=acosh((x_1-b)/a)
(13)
y_2=acosh((x_2-b)/a),
(14)

这两个方程无法解析求解。

CatenoidXAxis

一般情况比这个解所暗示的要复杂一些。为了理解这一点，考虑两个半径相等 半径 y_0 的环之间的 最小曲面。不失一般性，取两个环的中点为原点。那么两个端点位于 (-x_0,y_0) 和 (x_0,y_0)，并且

y_0=acosh((-x_0-b)/a)=acosh((x_0-b)/a).
(15)

但是 cosh(-x)=cosh(x)，所以

cosh((-x_0-b)/a)=cosh((-x_0+b)/a).
(16)

反转每一边

-x_0-b=-x_0+b,
(17)

因此 b=0 （由于对称性，必须如此，因为我们选择了两个环之间的原点），并且 最小曲面 的方程简化为

y=acosh(x/a).
(18)

在端点处

y_0=acosh((x_0)/a),
(19)

但是对于某些 x_0 和 y_0 的值，这个方程没有解。这个事实的物理意义是，曲面断裂并形成每个环中的圆盘，以最小化 面积。变分法 不能用于找到这种不连续的解（在这种情况下称为 戈尔德施密特解）。上面显示了几个端点选择的最小曲面。前两种情况是 悬链面，而第三种情况是 戈尔德施密特解。

为了找到可以获得 悬链线 解的 x_0/y_0 的最大值，令 p=1/a。然后 (17) 给出

y_0p=cosh(px_0).
(20)

现在，将 x_0 的最大值记为 x_0^*。那么 dx_0/dp=0 将成立。对 (20) 取 d/dp，

y_0=sinh(px_0)(x_0+p(dx_0)/(dp)).
(21)

现在设置 dx_0/dp=0

y_0=x_0sinh(px_0^*).
(22)

从 (20)，

py_0^*=cosh(px_0^*).
(23)

取 (23) ÷ (22)，

px_0^*=coth(px_0^*).
(24)

定义 u=px_0^*,

u=cothu.
(25)

这有解 u=1.1996789403...。从 (22)，y_0p=coshu。将此除以 (25) 得到 y_0/x_0=sinhu，因此 x_0/y_0 的最大可能值是

(x_0)/(y_0)=cschu=0.6627434193....
(26)

因此，仅当 x_0/y_0>0.6627... 时，才存在戈尔德施密特环解。

最小 悬链面 曲面的 表面积 由下式给出

A=2(2pi)int_0^(x_0)ysqrt(1+y^('2))dx,
(27)

但是由于

y=sqrt(1+y^('2))a
(28)
=acosh(x/a),
(29)
A=(4pi)/aint_0^(x_0)y^2dx
(30)
=4piaint_0^(x_0)cosh^2(x/a)dx
(31)
=4piaint_0^(x_0)1/2[cosh((2x)/a)+1]dx
(32)
=2pia[int_0^(x_0)cosh((2x)/a)dx+int_0^(x_0)dx]
(33)
=2pia[a/2sinh((2x)/a)+x]_0^(x_0)
(34)
=pia^2[sinh((2x)/a)+(2x)/a]_0^(x_0)
(35)
=pia^2[sinh((2x_0)/a)+(2x_0)/a].
(36)
CatenoidSolution

在求解 (◇) 中的 a 时需要谨慎。如果我们取 x_0=1/2 和 y_0=1，则 (◇) 变为

1=acosh(1/(2a)),
(37)

这有两个解：a_1=0.2350...（“深”），和 a_2=0.8483...（“平坦”）。但是，将这些代入 (◇) 和 x_0=1/2，我们发现 A_1=6.8456... 和 A_2=5.9917...。所以 A_1 实际上不是局部最小值，而 A_2 是唯一真正的最小解。

悬链面 解的 表面积 等于 戈尔德施密特解 的表面积，当 (◇) 等于两个圆盘的 面积 时，

pia^2[sinh((2x_0)/a)+(2x_0)/a]=2piy_0^2
(38)
a^2[2sinh((x_0)/a)cosh((x_0)/a)+(2x_0)/a]-2y_0^2=0
(39)
a^2[cosh((x_0)/a)sqrt(cosh^2((x_0)/a)-1)+(x_0)/a]-y_0^2=0.
(40)

代入

(y_0)/a=cosh((x_0)/a)
(41)
(y_0)/asqrt(((y_0)/a)^2-1)+cosh^(-1)((y_0)/a)-((y_0)/a)^2=0.
(42)

定义

u=(y_0)/a
(43)

给出

usqrt(u^2-1)+cosh^(-1)u-u^2=0.
(44)

这有一个解 u=1.2113614259。对于

A_(catenary)=A_(2 disks)
(45)

的 x_0/y_0 值是

(x_0)/(y_0)=((x_0)/a)/((y_0)/a)=(cosh^(-1)((y_0)/a))/((y_0)/a)=(cosh^(-1)u)/u=0.5276973967.
(46)

因此 x_0/y_0 in (0.52770,0.6627)，悬链线 解的 面积 大于两个圆盘的面积，因此它仅作为 局部最小值 存在。

也存在具有一个圆盘（半径为 r）的解，该圆盘位于由两个旋转 悬链面 支撑的环之间。面积 大于简单 悬链面 的面积，但它是 局部最小值。这条曲线的 正 半部分的方程是

y=c_1cosh(x/(c_1)+c_3).
(47)

在 (0,r) 处，

r=c_1cosh(c_3).
(48)

在 (x_0,y_0) 处，

y_0=c_1cosh((x_0)/(c_1)+c_3).
(49)

两个 悬链面 的 面积 是

A_(catenoids)=2(2pi)int_0^(x_0)ysqrt(1+y^('2))dx
(50)
=(4pi)/(c_1)int_0^(x_0)y^2dx
(51)
=4pic_1int_0^(x_0)cosh^2(x/(c_1)+c_3)dx.
(52)

现在令 u=x/c_1+c_3，所以 du=dx/c_1

A=4pic_1^2int_(c_3)^(x_0/x_1+c_3)cosh^2udu
(53)
=4pic_1^21/2int_(c_3)^(x_0/x_1+c_3)[cosh(2u)+1]du
(54)
=2pic_1^2[1/2sinh(2u)+u]_(c_3)^(x_0/x_1+c_3)
(55)
=2pic_1^2{1/2sinh[2((x_0)/(c_1)+c_3)]-1/2sinh(2c_3)+(x_0)/(c_1)}
(56)
=pic_1^2{sinh[2((x_0)/(c_1)+c_3)]-sinh(2c_3)+(2x_0)/(c_1)}.
(57)

中心 圆盘 的 面积 是

A_(disk)=pir^2=pic_1^2cosh^2c_3,
(58)

因此总 面积 是

A=pic_1^2{sinh[2((x_0)/(c_1)+c_3)]+[cosh^2c_3-sinh(2c_3)]+(2x_0)/(c_1)}.
(59)

根据 普拉托定律，悬链面 以 120 degrees 的 角度 相遇，所以

tan30 degrees=[(dy)/(dx)]_(x=0)
(60)
=[sinh(x/(c_1)+c_3)]_(x=0)
(61)
=sinhc_3=1/(sqrt(3))
(62)

并且

c_3=sinh^(-1)(1/(sqrt(3))).
(63)

这意味着

cosh^2c_3-sinh(2c_3)=[1+sinh^2c_3]-2sinhc_3sqrt(1+sinh^2c_3)
(64)
=(1+1/3)-2(1/(sqrt(3)))sqrt(1+1/3)
(65)
=4/3-2/(sqrt(3))2/(sqrt(3))=0,
(66)

所以

A=pic_1^2{sinh[2((x_0)/(c_1)+c_3)]+(2x_0)/(c_1)}.
(67)

现在检查 x_0/y_0,

(x_0)/(y_0)=((x_0)/(c_1))/((y_0)/(c_1))=((x_0)/(c_1))/(cosh((x_0)/(c_1)+c_3))=usech(u+c_3),
(68)

其中 u=x_0/c_1。找到 x_0/y_0 的最大比率给出

d/(du)((x_0)/(y_0))=sech(u+c_3)-utanh(u+c_3)sech(u+c_3)=0
(69)
utanh(u+c_3)=1,
(70)

其中 c_3=sinh^(-1)(1/sqrt(3)) 如上所述。解是 u=1.0799632187，因此带有中心圆盘的两个 悬链面 的 x_0/y_0 的最大值是 y_0=0.4078241702。

如果我们有兴趣找到从点 (x_1,y_1) 到点 (x_2,y_2) 的曲线，当这条曲线绕 y 轴（而不是 x 轴）旋转时，会产生具有最小 表面积 A 的曲面，我们按上述步骤进行。请注意，该解在物理上等效于绕 x 轴 旋转的情况，但采用不同的数学形式。面积 元素是

dA=2pixds=2pixsqrt(1+y^('2))dx
(71)
A=2piintxsqrt(1+y^('2))dx,
(72)

而我们正在最小化的量是

f=xsqrt(1+y^'^2).
(73)

求导得到

(partialf)/(partialy)=0
(74)
d/(dx)(partialf)/(partialy^')=d/(dx)((xy^')/(sqrt(1+y^('2)))),
(75)

因此 欧拉-拉格朗日微分方程 变为

(partialf)/(partialy)-d/(dx)(partialf)/(partialy^')=d/(dx)((xy^')/(sqrt(1+y^('2))))=0.
(76)
(xy^')/(sqrt(1+y^('2)))=a
(77)
x^2y^('2)=a^2(1+y^('2))
(78)
y^('2)(x^2-a^2)=a^2
(79)
(dy)/(dx)=a/(sqrt(x^2-a^2))
(80)
y=aint(dx)/(sqrt(x^2-a^2))+b=acosh^(-1)(x/a)+b.
(81)

求解 x 得到

x=acosh((y-b)/a),
(82)

这是 悬链线 的方程。悬链面 旋转产生的 表面积 是

A=2piintxsqrt(1+y^('2))dx=2piintxsqrt(1+(a^2)/(x^2-a^2))dx
(83)
=2piintx/(sqrt(x^2-a^2))sqrt((x^2-a^2)+a^2)dx
(84)
=2piint(x^2dx)/(sqrt(x^2-a^2))
(85)
=[x/2sqrt(x^2-a^2)+(a^2)/2ln(x+sqrt(x^2-a^2))]_(x_1)^(x_2)
(86)
=1/2[x_2sqrt(x_2^2-a^2)-x_1sqrt(x_1^2-a^2)+a^2ln((x_2+sqrt(x_2^2-a^2))/(x_1+sqrt(x_1^2-a^2)))].
(87)

Isenberg (1992, p. 80) 讨论了找到穿过轴线彼此偏移的两个环的 最小曲面。

参见

最小曲面, 旋转曲面

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上引用

最小旋转曲面

请引用为

Weisstein, Eric W. "最小旋转曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MinimalSurfaceofRevolution.html

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