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Henneberg 最小曲面

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HennebergsMinimalSurface

一个 最小曲面 和 15 阶和第五类的双重代数曲面，可以通过参数方程给出

x(u,v)=2sinhucosv-2/3sinh(3u)cos(3v)
(1)
y(u,v)=2sinhusinv+2/3sinh(3u)sin(3v)
(2)
z(u,v)=2cosh(2u)cos(2v).
(3)

此参数化的第一基本形式的系数由下式给出

E=8cosh^2u[cosh(4u)-cos(4v)]
(4)
F=0
(5)
G=8cosh^2u[cosh(4u)-cos(4v)],
(6)

而第二基本形式的系数为

e=-4cos(2v)sinh(2u)
(7)
f=4cosh(2u)sin(2v)
(8)
g=4sinh(2u)cos(2v),
(9)

给出面积元素

dS=2sqrt(2[cos(4v)-cosh(4u)])du ^ dv
(10)

以及高斯和平均曲率为

K=(sech^4u)/(8[cos(4v)-cosh(4u)])
(11)
H=0.
(12)

这个曲面的一个略有不同的版本（也是 15 阶的代数曲面，但系数略有不同）也可以从Enneper-Weierstrass 参数化获得，其中

f=2-2z^(-4)
(13)
g=z,
(14)

这给出了形式为的参数化

x(r,phi)=(2(r^2-1)cosphi)/r-(2(r^6-1)cos(3phi))/(3r^3)
(15)
y(r,phi)=-(6r^2(r^2-1)sinphi+2(r^6-1)sin(3phi))/(3r^3)
(16)
z(r,phi)=(2(r^4+1)cos(2phi))/(r^2).
(17)

此参数化的第一基本形式的系数由下式给出

E=(4(1+r^2)^2[1+r^8-2r^4cos(4phi)])/(r^8)
(18)
F=0
(19)
G=(4(1+r^2)^2[1+r^8-2r^4cos(4phi)])/(r^6),
(20)

而第二基本形式的系数为

e=(4(r^4-1)cos(2phi))/(r^4)
(21)
f=(4(1+r^4)sin(2phi))/(r^3)
(22)
g=(4(r^4-1)cos(2phi))/(r^2),
(23)

给出面积元素

dS=(4(1+r^2)^2[1+r^8-2r^4cos(4phi)])/(r^7)du ^ dv
(24)

以及高斯和平均曲率为

K=-(r^8)/((1+r^2)^4[1+r^8-2r^4cos(4phi)])
(25)
H=0.
(26)

Henneberg 最小曲面是一个定义在单位圆盘上的不可定向曲面。它是实射影平面的浸入，已被多次穿刺（在原点处一次，在度量的每个根处四次）。因此，它不是一个完备曲面。总曲率为 -2pi。

参见

Enneper-Weierstrass 参数化, 最小曲面

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参考文献

Darboux, G. §226 in Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars, 1941.Eisenhart, L. P. A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. New York: Dover, p. 267, 1960.Gray, A. "Henneberg's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 691-692, 1997.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Henneberg." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Henneberg.html.Nitsche, J. C. C. Introduction to Minimal Surfaces. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 144, 1989.

以此引用

Weisstein, Eric W. "Henneberg's Minimal Surface." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HennebergsMinimalSurface.html

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