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Scherk 最小曲面

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Scherk 的两个最小曲面由 Scherk 于 1834 年发现。它们是自 1776 年 Meusnier 以来发现的首批新曲面。Séquin 展示了 Scherk 曲面木雕的美丽图像。

ScherksMinimalSurface1

Scherk 的第一个曲面是双周期性的，由隐式方程定义

e^zcosy=cosx,
(1)

（Osserman 1986，Wells 1991，von Seggern 1993）。据观察，它在嵌段共聚物的层中形成（Peterson 1988）。

ScherksMinimalSurface2

Scherk 的第二个曲面是由 Enneper-Weierstrass 参数化生成的曲面，其中

f=4/(1-z^4)
(2)
g=iz.
(3)

它可以参数化地写成

x=2R[ln(1+re^(itheta))-ln(1-re^(itheta))]
(4)
=ln((1+r^2+2rcosphi)/(1+r^2-2rcosphi))
(5)
y=R[4itan^(-1)(re^(itheta))]
(6)
=((1+r^2-2rsinphi)/(1+r^2+2rsinphi))
(7)
z=R{2i(-ln[1-r^2e^(2itheta)]+ln[1+r^2e^(2itheta)])}
(8)
=2tan^(-1)[(2r^2sin(2phi))/(r^4-1)]
(9)

对于 theta in [0,2pi)，以及 r in (0,1)。使用此参数化，第一基本形式的系数为

E=(16(1+r^2)^2)/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(10)
F=0
(11)
G=(16r^2(1+r^2)^2)/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(12)

而第二基本形式的系数为

e=(8(1+r^4)sin(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(13)
f=(8(1-r^4)cos(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(14)
g=(8r^2(1+r^4)sin(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi)).
(15)

高斯曲率和平均曲率是

K=-(1+r^8-2r^4cos(4phi))/(4(1+r^2)^4)
(16)
H=0.
(17)

另请参阅

Enneper-Weierstrass 参数化，最小曲面

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参考文献

Dickson, S. "Minimal Surfaces." Mathematica J. 1, 38-40, 1990.do Carmo, M. P. Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 41, 1986.Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785.Osserman, R. A Survey of Minimal Surfaces. New York: Dover, pp. 18 and 101, 1986.Peterson, I. "Geometry for Segregating Polymers." Sci. News 134, 151, Sep. 3, 1988.Scherk, H. F. "Bemerkung über der kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen." J. reine angew. Math. 13, 185-208, 1834.Séquin, C. H. "Scherk-Collins Sculpture Generator." http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/scherk.html.Thomas, E. L.; Anderson, D. M.; Henkee, C. S.; and Hoffman, D. "Periodic Area-Minimizing Surfaces in Block Copolymers." Nature 334, 598-601, 1988.von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 304, 1993.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 223, 1991. Wolfram Research, Inc. "Mathematica Version 2.0 Graphics Gallery." http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/4664/.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Scherk 最小曲面。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ScherksMinimalSurfaces.html

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