调和函数

任何 实函数 具有连续二阶 偏导数 且满足 拉普拉斯方程 的，

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被称为调和函数。在物理学和工程学中，调和函数被称为 势函数。势函数非常有用，例如在电磁学中，它们将对 3 分量 矢量场 的研究简化为对 1 分量 标量函数 的研究。标量调和函数被称为 标量势，而矢量调和函数被称为 矢量势。

为了在 平面 中找到一类这样的函数，请用 极坐标 写出 拉普拉斯方程

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并仅考虑径向解

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这是可通过积分求解的，因此定义 ,

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所以解是

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忽略平凡的加法和乘法常数，一般纯径向解变为

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其他解可以通过微分获得，例如

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和

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包含方位角依赖性的调和函数包括

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泊松核

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是另一个调和函数。