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Catalan 极小曲面

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CatalanMinimalSurface

Catalan 极小曲面是由极小曲面通过参数方程给出

x(u,v)=u-sinucoshv
(1)
y(u,v)=1-cosucoshv
(2)
z(u,v)=4sin(1/2u)sinh(1/2v)
(3)

(Gray 1997)，或

x(r,phi)=a[sin(2phi)-aphi+1/2v^2cos(2phi)]
(4)
y(r,phi)=-a[cos(2phi)+1/2v^2cos(2phi)]
(5)
z(r,phi)=2avsinphi,
(6)

其中

v=-r+1/r
(7)

(do Carmo 1986)。

第一基本形式的系数为

E=2cosh^2(1/2v)(coshv-cosu)
(8)
F=0
(9)
G=2cosh^2(1/2v)(coshv-cosu),
(10)

第二基本形式的系数为

e=-cosh(1/2v)sin(1/2u)
(11)
f=cos(1/2u)sinh(1/2v)
(12)
g=cosh(1/2v)sin(1/2u).
(13)

主曲率为

kappa_1=(sech^2(1/2v))/(sqrt(8(coshv-cosu)))
(14)
kappa_2=-(sech^2(1/2v))/(sqrt(8(coshv-cosu))),
(15)

平均曲率为

H=0
(16)

高斯曲率为

K=(sech^4(1/2v))/(8(cosu-coshv)).
(17)

另请参阅

Catalan 直纹曲面

使用 探索

参考文献

Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 41, 1019-1023, 1855.do Carmo, M. P. "Catalan's Surface" §3.5D in Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 45-46, 1986.Fischer, G. (Ed.). Plates 94-95 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 90-91, 1986.Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 692-693, 1997.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Catalan Surface." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Catalan.html.

引用为

Weisstein, Eric W. "Catalan 极小曲面。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CatalanMinimalSurface.html

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