十进制展开

一个数的十进制展开是它在 十 进制（即，十进制 系统）中的表示。在这个系统中，每个“小数位”由数字 0-9 组成，这些数字的排列方式是每个数字都乘以 10 的幂，从左到右递减，并且用小数点指示 位。例如，十进制展开为 1234.56 的数字定义为

			(1)
			(2)

以这种形式 书写的表达式（其中允许如上例所示的负数 ，但在初等教育环境中通常不考虑）被称为处于 展开记数法 中。

其他例子包括 的十进制展开为 625， 的十进制展开为 3.14159...，以及 的十进制展开为 0.1111...。一个数的十进制展开可以在 Wolfram 语言 中使用以下命令找到RealDigits[n]，或等价地，RealDigits[n, 10]。

一个数的十进制展开可能终止（在这种情况下，该数被称为 正规数 或有限小数，例如，），最终变成周期性的（在这种情况下，该数被称为 循环小数，例如，），或者无限地继续而不重复（在这种情况下，该数被称为 无理数）。

下表总结了前几个 单位分数 的十进制展开。通常，十进制展开的循环部分通常用 连线 表示。

分数	十进制展开	分数	十进制展开
1	1
	0.5
	0.25
	0.2
			0.0625
	0.125
	0.1		0.05

如果 具有有限十进制展开（即， 是一个 正规数），那么

			(3)
			(4)
			(5)

分解 可能的公倍数得到

(6)

其中 (mod 2, 5)。因此，具有有限十进制展开的数是这种形式的分数。前几个正规数是 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, ... (OEIS A003592)。

任何非正规分数 都是周期性的，并且具有一个与 无关的 十进制周期 ，该周期最多为 位数字 长。如果 与 10 互质，则 的周期 是 的一个约数，并且最多有 位数字，其中 是 欧拉总计函数。结果表明， 是 10 对 (mod ) 的 乘法阶 (Glaisher 1878, Lehmer 1941)。一个 有理数 的十进制展开的循环部分的位数也可以直接从其 分母 的 乘法阶 中找到。

当一个 且 的有理数被展开时，周期在 项之后开始，长度为 ，其中 和 是满足以下条件的最小数字

(7)

当 (mod 2, 5) 时，，这变成了一个纯循环小数，其

(8)

作为一个例子，考虑 。

(9)

因此 ，。十进制表示为 。当分数 的 分母 具有 的形式，其中 ，则周期在 项之后开始，并且周期的长度是 10 所属的指数 (mod )，即，数字 使得 。如果 是 素数 并且 是 偶数，那么将重复的 数字 分成相等的两半并相加得到所有 9。例如，，并且 。对于 素数 分母 不是 2 或 5 的 ，所有循环 具有相同的长度 (Conway and Guy 1996)。

如果 是一个 素数 且 10 是 的 原根，则循环小数 的周期 由下式给出

(10)

其中 是 欧拉总计函数。此外，对于 ，其中 , 2, ..., 的十进制展开具有 的周期长度，并且仅通过循环排列而不同。这样的数字 被称为 全循环素数。

要找到具有短周期的 分母，请注意

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)

分母等于上面 素数 因子 的分数的 十进制周期 因此是该因子首次出现的 10 的 幂。例如，37 出现在 和 的因式分解中，因此其周期为 3。将任何 因子 乘以 仍然给出与单独 因子 相同的周期。通过两个 因子 的乘法获得的 分母 的周期等于两个 因子 都出现的 10 的第一个 幂。下表给出了具有小周期的 素数 (OEIS A007138, A046107, 和 A046108; Ogilvy and Anderson 1988)。

下表列出了除特殊 之外的小 素数 的周期 ，对于 ，十进制展开不是周期性的 (OEIS A002371)。

3	1	31	15	67	33
7	6	37	3	71	35
11	2	41	5	73	8
13	6	43	21	79	13
17	16	47	46	83	41
19	18	53	13	89	44
23	22	59	58	97	96
29	28	61	60	101	4

Shanks (1873ab) 计算了所有高达 的 素数 的周期，并公布了高达 的周期。