勾股定理

勾股定理指出，边长为整数 的正方形的对角线 不可能是 有理数。假设 是有理数，且等于 ，其中 和 是没有公因数的 整数。那么

因此

且 , 所以 是偶数。但如果 是 偶数，那么 也是 偶数。由于 被定义为最简形式， 必须是 奇数；否则 和 将有公因数 2。由于 是 偶数，我们可以设 ，那么 。因此，，且 ，所以 必须是 偶数。但 不能既是 偶数又是 奇数，所以不存在 和 使得 是 有理数，且 必须是 无理数。

特别是，勾股常数 是 无理数。Conway 和 Guy (1996) 给出了使用折纸证明此事实的方法，以及使用 五边形 和 六边形 证明 ( 黄金比例) 和 的类似证明。Wiedijk (2006) 给出了 17 个 无理性的计算机证明的集合。