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q-调和级数

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级数

h_q(-r)=sum_(n=1)^infty1/(q^n+r)
(1)

对于 q 一个非 0 和 +/-1 的 整数。h_q 以及相关的级数

Ln_q(-r+1)=sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(q^n+r),
(2)

它是 自然对数 2 的 q-模拟，对于 r 一个非 0 或 -q^n 的 有理数 来说是无理数 (Guy 1994)。事实上，Amdeberhan 和 Zeilberger (1998) 表明，无理数测度 h_q(1) 和 Ln_q(2) 均为 4.80，改进了 Borwein (1991, 1992) 暗示的值 54.0。

Amdeberhan 和 Zeilberger (1998) 还表明，q-调和级数和 q-模拟 ln2 可以写成更快速收敛的形式

h_q(1)=sum_(n=1)^(infty)(q^n)/((1-q^n)(q)_n)
(3)
=sum_(n=1)^(infty)(1-q^n-q^(2n))/((q^n-1)(2n; n)_q(q)_n)
(4)
Ln_q(2)=sum_(n=1)^(infty)(q^n(q)_n)/((1-q^n)(q^2)_n)
(5)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)(q)_n(1-q^(3n)))/((1-q^n)^2(2n; n)_q(q^2)_n),
(6)

其中 (n; k)_q 是一个 q-二项式系数，(q)_n 是一个 q-波赫哈默尔符号。

另请参阅

调和级数, 无理数测度

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参考文献

Amdeberhan, T. and Zeilberger, D. "q-Apéry Irrationality Proofs by q-WZ Pairs." Adv. Appl. Math. 20, 275-283, 1998.Borwein, P. B. "On the Irrationality of sum1/(q^n+r)." J. Number Th. 37, 253-259, 1991.Borwein, P. B. "On the Irrationality of Certain Series." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 112, 141-146, 1992.Breusch, R. "Solution to Problem 4518." Amer. Math. Monthly 61, 264-265, 1954.Erdős, P. "On Arithmetical Properties of Lambert Series." J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.Erdős, P. "On the Irrationality of Certain Series: Problems and Results." In New Advances in Transcendence Theory (Ed. A. Baker). Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 102-109, 1988.Erdős, P. and Kac, M. "Problem 4518." Amer. Math. Monthly 60, 47, 1953.Guy, R. K. "Some Irrational Series." §B14 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York:Springer-Verlag, p. 69, 1994.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

q-调和级数

请引用为

Weisstein, Eric W. "q-调和级数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-HarmonicSeries.html

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