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Erdős-Borwein 常数

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Erdős-Borwein 常数 E, 有时也表示为 alpha, 是 梅森数的倒数之和，

E=sum_(n=1)^(infty)1/(2^n-1)
(1)
=sum_(n=1)^(infty)1/(2^(n^2))(2^n+1)/(2^n-1)
(2)
=sum_(m=1)^(infty)sum_(n=1)^(infty)1/(2^(mn))
(3)
=sum_(n=1)^(infty)(sigma_0(n))/(2^n)
(4)
=1-(psi_(1/2)(1))/(ln2)
(5)
=1.606695152415291763...
(6)

(OEIS A065442), 其中 sigma_0(n)=d(n) 是 n 的除数个数，而 psi_q(z) 是一个 q-多伽玛函数。从方程 (1) 到 (2) 的变换源于级数变换

sum_(n=1)^infty(x^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^infty(x^(n^2)(1+x^n))/(1-x^n)
(7)

由 Clausen 于 1828 年提出 (Knuth 1998, pp. 155 和 157)，其中 x=1/2。

Erdős (1948) 证明了常数 E 是无理数。Borwein (1992) 随后证明了

sum_(n=1)^infty1/(q^n-r)
(8)

其中 r!=0 是无理数。

另请参阅

Erdős 数, 兰伯特级数, 梅森数, 树搜索

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参考文献

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Borwein, P. "On the Irrationality of Certain Series." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 112, 141-146, 1992.Erdős, P. "On Arithmetical Properties of Lambert Series." J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 354-361, 2003.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Sloane, N. J. A. Sequence A065442 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中引用

Erdős-Borwein 常数

引用为

Weisstein, Eric W. "Erdős-Borwein 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Erdos-BorweinConstant.html

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