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毕达哥拉斯常数

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PythagorassConstant

在这项工作中，名称毕达哥拉斯常数将赋予 平方根 2，

sqrt(2)=1.4142135623...
(1)

(OEIS A002193)，毕达哥拉斯学派证明它是无理数。

特别是，sqrt(2) 是两条直角边长均为 1 的斜边的长度，而它为无理数意味着它不能表示为整数 p 和 q 的比率 p/q。传说毕达哥拉斯哲学家希帕索斯在海上使用几何方法证明了 sqrt(2) 的无理数性，并在告知其同伴他的伟大发现后，立即被狂热的毕达哥拉斯学派成员扔下船。一个稍微的推广有时被称为毕达哥拉斯定理。

特奥多鲁斯随后证明了从 3 到 17（不包括 4、9 和 16）的数字的平方根也是无理数 (Wells 1986, p. 34)。

尚不清楚毕达哥拉斯常数是否对任何基数都是正规数 (Stoneham 1970, Bailey and Crandall 2003)。

连分数 sqrt(2) 是周期性的，就像所有二次无理数一样，

sqrt(2)=[1,2,2,2,...]=[1,2^_]
(2)

(OEIS A040000)。

sqrt(2) 的 Engel 展开式 为 1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, ... (OEIS A028254)。

显然，尚不清楚是否存在适用于 sqrt(2) 的 BBP 型公式，但 pisqrt(2) 有以下公式

pisqrt(2)=sum_(k=0)^(infty)1/((-8)^k)(4/(6k+1)+1/(6k+3)+1/(6k+5))
(3)
=1/(64)sum_(k=0)^(infty)1/((-512)^k)((256)/(18k+1)+(64)/(6k+3)+(64)/(18k+5)-(32)/(18k+7)-8/(18k+9)-8/(18k+11)+4/(18k+13)+1/(18k+15)+1/(18k+17))
(4)
=4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(4k+1)+1/(4k+3))
(5)
=4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(12k+1)+1/(12k+3)-1/(12k+5)-1/(12k+7)+1/(12k+9)+1/(12k+11))
(6)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(3/(20k+1)+3/(20k+3)+2/(20k+5)-3/(20k+7)+3/(20k+9)+3/(20k+11)-3/(20k+13)+2/(20k+17)+3/(20k+19))
(7)
=1/8sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)((32)/(12k+1)+8/(2k+3)+8/(12k+5)-4/(12k+7)-1/(12k+9)-1/(12k+11))
(8)

(E. W. Weisstein, Aug. 30, 2008)。

sqrt(2) 的 二进制表示由下式给出

sqrt(2)=10110101000001001111..._2
(9)

(OEIS A004539; Graham and Polack 1970; Bailey et al. 2003)。

对于 n=2 的情况，使用婆什迦罗-布龙克尔平方根算法，这给出了 sqrt(2) 的收敛值为 1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、... (OEIS A001333 和 A000129; Wells 1986, p. 34; Flannery and Flannery 2000, p. 132; Derbyshire 2004, p. 16)。分子由线性递推方程的解给出

a(n)=2a(n-1)+a(n-2),
(10)

由下式给出

a(n)=1/2[(1-sqrt(2))^n+(1+sqrt(2))^n],
(11)

分母是佩尔数，即具有 b(0)=0 和 b(1)=1 的相同递推方程的解，其解为

b(n)=((1+sqrt(2))^n-(1-sqrt(2))^n)/(2sqrt(2)).
(12)

a(n) 的每个其他值，即 1、7、41、239、... (OEIS A002315) 产生 NSW 数。

Ribenboim (1996, p. 369) 考虑了使 p 为素数的素数值 a(p)，尽管他错误地将这些称为产生素数 NSW 数的 p 值。前几个这样的 p 是 3、5、7、19、29、47、59、163、257、421、937、947、1493、1901、... (OEIS A005850)。

对于 sqrt(2)，牛顿迭代 平方根算法给出的收敛值为 1、3/2、17/12、577/408、665857/470832、... (OEIS A001601 和 A051009)。

巴比伦人给出了令人印象深刻的近似值

sqrt(2) approx 1+(24)/(60)+(51)/(60^2)+(10)/(60^3)=1.41421296296296...
(13)

(OEIS A070197; Wells 1986, p. 35; Guy 1990; Conway and Guy 1996, pp. 181-182; Flannery 2006, pp. 32-33)。

另请参阅

2, 德利安常数, 格尔丰德-施奈德常数, 无理数, 等腰直角三角形, NSW 数, 八边形, 毕达哥拉斯常数的数字, 毕达哥拉斯定理, 平方, 平方根, 平方根算法, 特奥多鲁斯常数

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J.; Crandall, R. E.; 和 Pomerance, C. "On the Binary Expansions of Algebraic Numbers." J. Théor. Nombres Bordeaux 16, 487-518, 2004.Bailey, D. H. 和 Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 页 25 和 181-182, 1996.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Finch, S. R. "Pythagoras' Constant." §1.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 页 1-5, 2003.Flannery, D. The Square Root of 2: A Dialogue Concerning a Number and a Sequence. New York: Copernicus, 2006.Flannery, S. 和 Flannery, D. In Code: A Mathematical Journey. London: Profile Books, 页 130-132, 2000.Good, I. J. 和 Gover, T. N. "The Generalized Serial Test and the Binary Expansion of sqrt(2)." J. Roy. Statist. Soc. Ser. A 130, 102-107, 1967.Good, I. J. 和 Gover, T. N. "Corrigendum." J. Roy. Statist. Soc. Ser. A 131, 434, 1968.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "Pythagore's Constant: sqrt(2)." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html.Graham, R. L. 和 Pollak, H. O. "Note on a Nonlinear Recurrence Related to sqrt(2)." Math. Mag. 43, 143-145, 1970.Guy, R. K. "Review: The Mathematics of Plato's Academy." Amer. Math. Monthly 97, 440-443, 1990.Jones, M. F. "22900D [sic] Approximations to the Square Roots of the Primes Less Than 100." Math. Comput. 22, 234-235, 1968.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, 页 34, 1951.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 页 126, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A000129/M1314, A001333/M2665, A001601/M3042, A002193/M3195, A004539, A005850/M2426, A028254, A040000, A051009, 和 A070197 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stoneham, R. "A General Arithmetic Construction of Transcendental Non-Liouville Normal Numbers from Rational Functions." Acta Arith. 16, 239-253, 1970.Uhler, H. S. "Many-Figures Approximations to sqrt(2), and Distribution of Digits in sqrt(2) and 1/sqrt(2)." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 37, 63-67, 1951.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 页 34-35, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

毕达哥拉斯常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Pythagoras's Constant." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PythagorassConstant.html

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