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狄利克雷函数

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设 c 和 d!=c 为实数 (通常取 c=1 和 d=0)。狄利克雷函数定义为

D(x)={c for x rational; d for x irrational
(1)

并且处处不连续。狄利克雷函数可以解析地写成

D(x)=lim_(m->infty)lim_(n->infty)cos^(2n)(m!pix).
(2)
DirichletFunction

由于狄利克雷函数无法在不产生实线混合的情况下绘制，因此可以定义一个修改后的版本，有时也称为狄利克雷函数 (Bruckner et al. 2008)、Thomae 函数 (Beanland et al. 2009) 或小 Riemann 函数 (Ballone 2010, p. 11)，定义如下

D_M(x)={0 for x irrational; 1/b for x=a/b a reduced fraction
(3)

(Dixon 1991)，如上图所示。这个函数在无理数 x 处连续，在有理数 x 处不连续 (虽然无理点 x 周围的小区间包含无限多个有理点，但这些有理数将具有非常大的分母)。当从沿着直线 y=x 的角落以正常视角观察时，象限的欧几里得果园会变成修改后的狄利克雷函数 (Gosper)。

另请参阅

连续函数, 狄利克雷 Beta 函数, 狄利克雷 Eta 函数, 狄利克雷 Lambda 函数, 欧几里得果园, 无理数, 有理数

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参考文献

Ballone, F. A. "On Volterra Spaces." Masters thesis, Youngstown State University, Jun. 2010.Beanland, K.; Roberts, J. W.; and Stevenson, C. "Modifications of Thomae's Function and Differentiability." Amer. Math. Monthly 116, 531-535, 2009.Bruckner, A; Bruckner, J.; and Thomson, B. Elementary Real Analysis, 2nd ed.. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 177 and 184-186, 1991.Tall, D. "The Gradient of a Graph." Math. Teaching 111, 48-52, 1985.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 32-33, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 中被引用

狄利克雷函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function." 来自 Web 资源. https://mathworld.net.cn/DirichletFunction.html

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