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椭圆积分

椭圆积分是积分形式

int(A(x)+B(x)sqrt(S(x)))/(C(x)+D(x)sqrt(S(x)))dx,
(1)

或

int(A(x)dx)/(B(x)sqrt(S(x))),
(2)

其中 A(x), B(x), C(x), 和 D(x) 是关于 x 的多项式，并且 S(x) 是 3 次或 4 次多项式。更简单地说，椭圆积分是形式的积分

intR(w,x)dx,
(3)

其中 R(w,x) 是 x 和 w 的有理函数，w^2 是关于 x 的函数，它是关于 x 的三次或四次函数，R(w,x) 至少包含一个 w 的奇次幂，并且 w^2 没有重复因子（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 589）。

椭圆积分可以被看作是反三角函数的推广，并为更广泛的问题类别提供解决方案。例如，虽然圆的弧长可以表示为参数的简单函数，但计算椭圆的弧长需要使用椭圆积分。类似地，对于小角度振荡，摆的位置由作为时间函数的三角函数给出，但是对于任意大位移的完整解需要使用椭圆积分。电磁学和引力中的许多其他问题都可以通过椭圆积分来解决。

通过反演椭圆积分以获得三角函数的推广，可以得到一类非常有用的函数，称为椭圆函数。椭圆函数（其中雅可比椭圆函数和魏尔斯特拉斯椭圆函数是两种最常见的形式）为分析数论以及数学其他领域的许多深刻问题提供了强大的工具。

所有椭圆积分都可以用三种“标准”类型来表示。为了看到这一点，写出

R(w,x)=(P(w,x))/(Q(w,x))
(4)
=(wP(w,x)Q(-w,x))/(wQ(w,x)Q(-w,x)).
(5)

但是由于 w^2=f(x),

Q(w,x)Q(-w,x)=Q_1(w,x)
(6)
=Q_1(-w,x),
(7)

那么

wP(w,x)Q(-w,x)=A+Bx+Cw+Dx^2+Ewx+Fw^2+Gw^2x+Hw^3x
(8)
=(A+Bx+Dx^2+Fw^2+Gw^2x)+w(c+Ex+Hw^2x+...)
(9)
=P_1(x)+wP_2(x),
(10)

所以

R(w,x)=(P_1(x)+wP_2(x))/(wQ_1(w))
(11)
=(R_1(x))/w+R_2(x).
(12)

但是任何函数 intR_2(x)dx 都可以用初等函数来评估，所以唯一需要考虑的部分是

int(R_1(x))/wdx.
(13)

现在，任何四次式都可以表示为 S_1S_2，其中

S_1=a_1x^2+2b_1x+c_1
(14)
S_2=a_2x^2+2b_2x+c_2.
(15)

这里的系数是实数，因为成对的复数根是共轭复数

[x-(R+Ii)][x-(R-Ii)]=x^2+x(-R+Ii-R-Ii)+(R^2-I^2i)
(16)
=x^2-2Rx+(R^2+I^2).
(17)

如果所有四个根都是实数，则必须将它们排列成不交错的形式（Whittaker 和 Watson 1990, p. 514）。现在定义一个量 lambda，使得 S_1-lambdaS_2

(a_1-lambdaa_2)x^2-(2b_1-2b_2lambda)x+(c_1-lambdac_2)
(18)

是一个平方数，并且

2sqrt((a_1-lambdaa_2)(c_1-lambdac_2))=2(b_1-b_2lambda)
(19)
(a_1-lambdaa_2)(c_1-lambdac_2)-(b_1-lambdab_2)^2=0.
(20)

将此方程的根称为 lambda_1 和 lambda_2，那么

S_1-lambda_2S_2=[sqrt((a_1-lambda_2a_2)x^2)+sqrt(c_1-lambda_2c_2)]^2
(21)
=(a_1-lambda_2a_2)(x+sqrt((c_1-lambda_2c_2)/(a_1-lambda_2a_2)))
(22)
=(a_1-lambda_2a_2)(x-beta)^2
(23)
S_1-lambda_1S_2=[sqrt((a_1-lambda_1a_2)x^2)+sqrt(c_1-lambda_1c_2)]^2
(24)
=(a_1-lambda_1a_2)(x+sqrt((c_1-lambda_1c_2)/(a_1-lambda_1a_2)))
(25)
=(a_1-lambda_1a_2)(x-alpha)^2.
(26)

取 (25)-(26) 和 lambda_2(1)-lambda_1(2) 得到

S_2(lambda_2-lambda_1)=(a_1-lambda_1a_2)(x-alpha)^2-(a_1-lambda_2a_2)(x-beta)^2
(27)
S_1(lambda_2-lambda_1)=lambda_2(a_1-lambda_1a_2)(x-alpha)^2-lambda_1(a_1-lambda_2a_2)(x-beta)^2.
(28)

求解得到

S_1=(a_1-lambda_1a_2)/(lambda_2-lambda_1)(x-alpha)^2-(a_1-lambda_2a_2)/(lambda_2-lambda_1)(x-beta)^2
(29)
=A_1(x-alpha)^2+B_1(x-beta)^2
(30)
S_2=(lambda_2(a_1-lambda_1a_2))/(lambda_2-lambda_1)(x-alpha)^2-(lambda_1(a_1-lambda_2a_2))/(lambda_2-lambda_1)(x-beta)^2
(31)
=A_2(x-alpha)^2+B_2(x-beta)^2,
(32)

所以我们有

w^2=S_1S_2=[A_1(x-alpha)^2+B_1(x-beta)^2][A^2(x-alpha)^2+B^2(x-beta)^2].
(33)

现在令

t=(x-alpha)/(x-beta)
(34)
dt=[(x-beta)^(-1)-(x-alpha)(x-beta)^(-2)]dx
(35)
=((x-beta)-(x-alpha))/((x-beta)^2)dx
(36)
=(alpha-beta)/((x-beta)^2)dx,
(37)

所以

w^2=(x-beta)^4[A_1((x-alpha)/(x-beta))^2+B_1][A_2((x-alpha)/(x-beta))+B_2]
(38)
=(x-beta)^4(A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2),
(39)

和

w=(x-beta)^2sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2))
(40)
(dx)/w=[((x-beta)^2)/(alpha-beta)dt]1/((x-beta)^2sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2)))
(41)
=(dt)/((alpha-beta)sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2))).
(42)

现在令

R_3(t)=(R_1(x))/(alpha-beta),
(43)

所以

int(R_1(x)dx)/w=int(R_3(t)dt)/(sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2))).
(44)

重写偶部和奇部

R_3(t)+R_3(-t)=2R_4(t^2)
(45)
R_3(t)-R_3(-t)=2tR_5(t^2),
(46)

得到

R_3(t)=1/2(R_(even)-R_(odd))
(47)
=R_4(t^2)+tR_5(t^2),
(48)

所以我们有

int(R_1(x)dx)/w=int(R_4(t^2)dt)/(sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2)))+int(R_5(t^2)tdt)/(sqrt((A_1t^2+B_1)(A_2t^2+B_2))).
(49)

令

u=t^2
(50)
du=2tdt
(51)

将第二个积分简化为

1/2int(R_5(u)du)/(sqrt((A_1u+B_1)(A_2u+B_2))),
(52)

可以使用初等函数来评估它。然后，第一个积分可以通过分部积分法简化为三种勒让德椭圆积分之一（也称为勒让德-雅可比椭圆积分），称为不完全第一类椭圆积分、第二类椭圆积分和第三类椭圆积分，分别表示为 F(phi,k)、E(phi,k) 和 Pi(n;phi,k)（von Kármán 和 Biot 1940, Whittaker 和 Watson 1990, p. 515）。如果 phi=pi/2，则这些积分称为完全椭圆积分，表示为 K(k)、E(k)、Pi(n;k)。

不完全椭圆积分使用椭圆模 k、参数 m=k^2 或模角 alpha=sin^(-1)k 来表示。当使用参数时，椭圆积分写为 I(phi|m)，当使用椭圆模时，写为 I(phi,k)，当使用模角时，写为 I(phi\alpha)。当 phi=pi/2 时，定义完全椭圆积分，并且可以使用展开式表示

(1-k^2sin^2theta)^(-1/2)=sum_(n=0)^infty((2n-1)!!)/((2n)!!)k^(2n)sin^(2n)theta.
(53)

标准形式的椭圆积分

int_a^x(dx)/(sqrt(f(x))),
(54)

其中

f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,
(55)

可以用魏尔斯特拉斯椭圆函数和不变量进行解析计算 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 453)

g_2=a_0a_4-4a_1a_3+3a_2^2
(56)
g_3=a_0a_2a_4-2a_1a_2a_3-a_4a_1^2-a_3^2a_0.
(57)

如果 a=x_0 是 f(x)=0 的根，那么解是

x=x_0+1/4f^'(x_0)[P(z;g_2,g_3)-1/(24)f^('')(x_0)]^(-1).
(58)

对于任意下限，

x=a+(sqrt(f(a))P^'(z)+1/2f^'(a)[P(z)-1/(24)f^('')(a)]+1/(24)f(a)f^(''')(a))/(2[P(z)-1/(24)f^('')(a)]^2-1/(48)f(a)f^((iv))(a)),
(59)

其中 P(z)=P(z;g_2,g_3) 是魏尔斯特拉斯椭圆函数 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 454)。

广义椭圆积分可以通过函数定义

T(a,b)=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta))
(60)
=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(costhetasqrt(a^2+b^2tan^2theta))
(61)

(Borwein 和 Borwein 1987)。现在令

t=btantheta
(62)
dt=bsec^2thetadtheta.
(63)

但是

sectheta=sqrt(1+tan^2theta),
(64)

所以

dt=b/(costheta)secthetadtheta
(65)
=b/(costheta)sqrt(1+tan^2theta)dtheta
(66)
=b/(costheta)sqrt(1+(t/b)^2)dtheta
(67)
=(dtheta)/(costheta)sqrt(b^2+t^2),
(68)

和

(dtheta)/(costheta)=(dt)/(sqrt(b^2+t^2)),
(69)

方程变为

T(a,b)=2/piint_0^infty(dt)/(sqrt((a^2+t^2)(b^2+t^2)))
(70)
=1/piint_(-infty)^infty(dt)/(sqrt((a^2+t^2)(b^2+t^2))).
(71)

现在我们进行进一步替换 u=1/2(t-ab/t)。微分变为

du=1/2(1+ab/t^2)dt,
(72)

但是 2u=t-ab/t，所以

2u/t=1-ab/t^2
(73)
ab/t^2=1-2u/t
(74)

和

1+ab/t^2=2-2u/t=2(1-u/t).
(75)

但是，左侧始终为正，因此

1+ab/t^2=2-2u/t=2|1-u/t|
(76)

微分是

dt=(du)/(|1-u/t|).
(77)

我们需要注意积分的极限。将 (◇) 写成

int_(-infty)^inftyf(t)dt=int_(-infty)^(0^-)f(t)dt+int_(0^+)^inftyf(t)dt.
(78)

现在将极限更改为适合 u 积分的极限

int_(-infty)^inftyg(u)du+int_(-infty)^inftyg(u)du=2int_(-infty)^inftyg(u)du,
(79)

所以我们提取了一个因子 2，必须包含在内。使用这个事实并将 (◇) 代入 (◇) 因此得到

T(a,b)=2/piint_(-infty)^infty(du)/(|1-u/t|sqrt(a^2b^2+(a^2+b^2)t^2+t^4)).
(80)

现在注意

u^2=(t^4-2abt^2+a^2b^2)/(4t^2)
(81)
4u^2t^2=t^4-2abt^2+a^2b^2
(82)
a^2b^2+t^4=4u^2t^2+2abt^2.
(83)

将 (◇) 代入 (◇) 得到

T(a,b)=2/piint_(-infty)^infty(du)/(|1-u/t|sqrt(4u^2t^2+2abt^2+(a^2+b^2)t^2))
(84)
=2/piint_(-infty)^infty(du)/(|t-u|sqrt(4u^2+(a+b)^2)).
(85)

但是

2ut=t^2-ab
(86)
t^2-2ut-ab=0
(87)
t=1/2(2u+/-sqrt(4u^2+4ab))
(88)
=u+/-sqrt(u^2+ab),
(89)

所以

t-u=+/-sqrt(u^2+ab),
(90)

并且 (◇) 变为

T(a,b)=2/piint_(-infty)^infty(du)/(sqrt([4u^2+(a+b)^2](u^2+ab)))
(91)
=1/piint_(-infty)^infty(du)/(sqrt([u^2+((a+b)/2)^2](u^2+ab))).
(92)

因此，我们证明了

T(a,b)=T(1/2(a+b),sqrt(ab)).
(93)

我们可以迭代

a_(i+1)=1/2(a_i+b_i)
(94)
b_(i+1)=sqrt(a_ib_i),
(95)

任意多次，而不会更改积分的值。但是此迭代与算术-几何平均值相同并且因此收敛到它，因此迭代在 a_i=b_i=M(a_0,b_0) 处终止，并且我们有

T(a_0,b_0)=T(M(a_0,b_0),M(a_0,b_0))
(96)
=1/piint_(-infty)^infty(dt)/(M^2(a_0,b_0)+t^2)
(97)
=1/(piM(a_0,b_0))[tan^(-1)(t/(M(a_0,b_0)))]_(-infty)^infty
(98)
=1/(piM(a_0,b_0))[pi/2-(-pi/2)]
(99)
=1/(M(a_0,b_0)).
(100)

完全椭圆积分出现在求椭圆的弧长和摆的周期中。它们也自然地从 theta 函数理论中产生。可以使用涉及算术-几何平均值的过程来计算完全椭圆积分。请注意

T(a,b)=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta))
(101)
=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(asqrt(cos^2theta+(b/a)^2sin^2theta))
(102)
=2/(api)int_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(1-(1-(b^2)/(a^2))sin^2theta)).
(103)

所以我们有

T(a,b)=2/(api)K(sqrt(1-(b^2)/(a^2)))
(104)
=1/(M(a,b)),
(105)

其中 K(k) 是第一类完全椭圆积分。我们可以自由地令 a=a_0=1 和 b=b_0=k^'，所以

2/piK(sqrt(1-k^('2)))=2/piK(k)=1/(M(1,k^')),
(106)

由于 k=sqrt(1-k^('2))，所以

K(k)=pi/(2M(1,k^')).
(107)

但是算术-几何平均值由下式定义

a_i=1/2(a_(i-1)+b_(i-1))
(108)
b_i=sqrt(a_(i-1)b_(i-1))
(109)
c_i={1/2(a_(i-1)-b_(i-1)) i>0; sqrt(a_0^2-b_0^2) i=0,
(110)

其中

c_(n-1)=1/2a_n-b_n=(c_n^2)/(4a_(n+1))<=(c_n^2)/(4M(a_0,b_0)),
(111)

所以我们有

K(k)=pi/(2a_N),
(112)

其中 a_N 是 a_n 收敛到的值。类似地，取 a_0^'=1 和 b_0^'=k 得到

K^'(k)=pi/(2a_N^').
(113)

Borwein 和 Borwein (1987) 也表明，定义

U(a,b)=pi/2int_0^(pi/2)sqrt(a^2cos^2theta+b^2sin^2theta)dtheta
(114)
=aE^'(b/a)
(115)

导致

2U(a_(n+1),b_(n+1))-U(a_n,b_n)=a_nb_nT(a_n,b_n),
(116)

所以

(K(k)-E(k))/(K(k))=1/2(c_0^2+2c_1^2+2^2c_2^2+...+2^nc_n^2)
(117)

对于 a_0=1 和 b_0=k^'，并且

(K^'(k)-E^'(k))/(K^'(k))=1/2(c_0^'^2+2c_1^'^2+2^2c_2^'^2+...+2^nc_n^'^2).
(118)

椭圆积分满足大量恒等式。互补函数和模数定义为

K^'(k)=K(sqrt(1-k^2))=K(k^').
(119)

使用广义椭圆积分的恒等式

T(a,b)=T(1/2(a+b),sqrt(ab))
(120)

写出

1/aK(sqrt(1-(b^2)/(a^2)))=2/(a+b)K(sqrt(1-(4ab)/((a+b)^2)))
(121)
=2/(a+b)K(sqrt((a^2+b^2-2ab)/((a+b)^2)))
(122)
=2/(a+b)K((a-b)/(a+b))
(123)
K(sqrt(1-(b^2)/(a^2)))=2/(1+b/a)K((1-b/a)/(1+b/a)).
(124)

定义

k^'=b/a,
(125)

并使用

k=sqrt(1-k^('2)),
(126)

所以

K(k)=2/(1+k^')K((1-k^')/(1+k^')).
(127)

现在令 l=(1-k^')/(1+k^') 得到

l(1+k^')=1-k^'=>k^'(l+1)=1-l
(128)
k^'=(1-l)/(1+l)
(129)
k=sqrt(1-k^('2))
(130)
=sqrt(1-((1-l)/(1+l))^2)
(131)
=sqrt(((1+l)^2-(1-l)^2)/((1+l)^2))
(132)
=(2sqrt(l))/(1+l),
(133)

和

1/2(1+k^')=1/2(1+(1-l)/(1+l))
(134)
=1/2[((1+l)+(1-l))/(1+l)]
(135)
=1/(1+l).
(136)

写 k 而不是 l,

K(k)=1/(k+1)K((2sqrt(k))/(1+k)).
(137)

类似地，根据 Borwein 和 Borwein (1987)，

E(k)=(1+k)/2E((2sqrt(k))/(1+k))+(k^('2))/2K(k)
(138)
E(k)=(1+k^')E((1-k^')/(1+k^'))-k^'K(k).
(139)

用互补函数表示的表达式可以从交换 (◇)、(◇)、(◇) 和 (◇) 中的模数及其补数导出。

K^'(k)=K(k^')
(140)
=2/(1+k)K((1-k)/(1+k))
(141)
=2/(1+k)K^'(sqrt(1-((1-k)/(1+k))^2))
(142)
=2/(1+k)K^'((2sqrt(k))/(1+k))
(143)
=1/(1+k^')K((2sqrt(k^'))/(1+k^'))
(144)
=1/(1+k^')K^'((1-k^')/(1+k^')),
(145)

和

E^'(k)=(1+k)E^'((2sqrt(k))/(1+k))-kK^'(k)
(146)
E^'(k)=((1+k^')/2)E^'((1-k^')/(1+k^'))+(k^2)/2K^'(k).
(147)

取比率

(K^'(k))/(K(k))=2(K^'((2sqrt(k))/(1+k)))/(K((2sqrt(k))/(1+k)))=1/2(K^'((1-k^')/(1+k^')))/(K((1-k^')/(1+k^')))
(148)

得到 2 次模方程。同样正确的是

K(x)=4/((1+sqrt(x^'))^2)K([(1-RadicalBox[{1, -, {x, ^, 4}}, 4])/(1+RadicalBox[{1, -, {x, ^, 4}}, 4])]^2).
(149)

另见

阿贝尔积分, 卡尔森椭圆积分, 第一类完全椭圆积分, 第二类完全椭圆积分, 第三类完全椭圆积分, Delta 幅度, 椭圆幅角, 椭圆特征, 椭圆函数, 第一类椭圆积分, 第二类椭圆积分, 第三类椭圆积分, 椭圆积分奇异值, 椭圆模, 休曼Lambda函数, 雅可比幅度, 雅可比椭圆函数, 雅可比 Zeta 函数, 模角, Nome, 参数, 魏尔斯特拉斯椭圆函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.Arfken, G. "Elliptic Integrals." §5.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 321-327, 1985.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Hancock, H. Elliptic Integrals. New York: Wiley, 1917.Kármán, T. von 和 Biot, M. A. Mathematical Methods in Engineering: An Introduction to the Mathematical Treatment of Engineering Problems. New York: McGraw-Hill, p. 121, 1940.King, L. V. The Direct Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals. London: Cambridge University Press, 1924.Prasolov, V. 和 Solovyev, Y. Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "Elliptic Integrals and Jacobi Elliptic Functions." §6.11 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 254-263, 1992.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; 和 Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon & Breach, 1986.Timofeev, A. F. Integration of Functions. Moscow and Leningrad: GTTI, 1948.Weisstein, E. W. "Books about Elliptic Integrals." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/EllipticIntegrals.html.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Woods, F. S. "Elliptic Integrals." Ch. 16 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 365-386, 1926.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

椭圆积分

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "椭圆积分。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegral.html

学科分类