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魏尔斯特拉斯椭圆函数 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)

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魏尔斯特拉斯椭圆函数（或魏尔斯特拉斯 P 函数，发音为“p 函数”）是椭圆函数，与 雅可比椭圆函数 (Jacobi elliptic functions) 不同，它在 z=0 处具有二阶极点 (pole)。为了完全指定 P(z)，必须指定其半周期（omega_1 和 omega_2）或椭圆不变量 (elliptic invariants)（g_2 和 g_3）。这两种情况分别表示为 P(z|omega_1,omega_2) 和 P(z;g_2,g_3)。

魏尔斯特拉斯椭圆函数在 Wolfram 语言 (Wolfram Language) 中实现为WeierstrassP[u, {g2, g3}]。半周期和不变量可以使用 Wolfram 语言 (Wolfram Language) 命令进行相互转换WeierstrassInvariants[{omega1, omega2}] 和WeierstrassHalfPeriods[{g2, g3}]。魏尔斯特拉斯椭圆函数的导数实现为WeierstrassPPrime[u, {g2, g3}]，而反魏尔斯特拉斯函数实现为InverseWeierstrassP[p, {g2, g3}]。InverseWeierstrassP[{p, q}, {g2, g3}] 查找 u 的唯一值，使得 p=P(u;g_2,g_3) 且 q=P^'(u;g_2,g_3)。

WeierstrassP

以上绘图显示了 椭圆不变量 (elliptic invariants) g_2=4 和 g_3=0 沿实轴 (real axis)的魏尔斯特拉斯椭圆函数 P(z;g_2,g_3) 及其导数 P^'(z;g_2,g_3)。

WeierstrassPReIm
WeierstrassPContours
WeierstrassPPrimeReIm
WeierstrassPPrimeContours

以上绘图显示了 椭圆不变量 (elliptic invariants) (g_2,g_3)=(4,0) 的魏尔斯特拉斯 P 函数及其导数。

椭圆不变量 (elliptic invariants) g_2 和 g_3 的特定情况在下表中总结了特殊名称（Abramowitz 和 Stegun 1972）。等调和情况 (equianharmonic case)下的实半周期称为 omega2 常数 (omega2-constant)。

g_2g_3情况名称 (Qíngkuàng míngchēng)
01等调和情况 (Děng diào hé qíngkuàng)
10双纽线情况 (Shuāng niǔ xiàn qíngkuàng)
-10伪双纽线情况 (Wèi shuāng niǔ xiàn qíngkuàng)

魏尔斯特拉斯椭圆函数定义为

P(z)=1/(z^2)+sum^'_(m,n=-infty)^infty[1/((z-2momega_1-2nomega_2)^2)-1/((2momega_1+2nomega_2)^2)]
(1)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 434），其中撇号表示总和中给出零分母的项被省略。写成 Omega_(mn)=2momega_1+2nomega_2。那么这可以写成

P(z)=z^(-2)+sum^'_(m,n)[(z-Omega_(mn))^(-2)-Omega_(mn)^(-2)].
(2)

一个等效的定义，收敛速度更快，是

P(z)=(pi/(2omega_1))^2[-1/3+sum_(n=-infty)^inftycsc^2((z-2nomega_2)/(2omega_1)pi)-sum^'_(n=-infty)^inftycsc^2((nomega_2)/(omega_1)pi)]
(3)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 434）。P(z) 是一个偶函数 (even function)，因为 P(-z) 在不同的顺序中给出相同的项。

P(z) 的级数展开式由下式给出

P(z)=z^(-2)+sum_(k=2)^inftyc_kz^(2k-2),
(4)

其中

c_2=(g_2)/(20)
(5)
c_3=(g_3)/(28)
(6)

和

c_k=3/((2k+1)(k-3))sum_(m=2)^(k-2)c_mc_(k-m)
(7)

对于 k>=4（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 635）。c_k 对于 k>=4 的前几个值以 c_2 和 c_3 表示，由下式给出

c_4=1/3c_2^2
(8)
c_5=1/(11)(3c_2c_3)
(9)
c_6=1/(39)(2c_2^3+3c_3^2)
(10)
c_7=2/(33)c_2^2c_3
(11)
c_8=5/(7293)(11c_2^4+36c_2c_3^2)
(12)
c_9=(29)/(2717)(c_2^3c_3+11c_3^3)
(13)
c_(10)=1/(240669)(242c_2^5+1455c_2^2c_3^2)
(14)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 636）。

魏尔斯特拉斯椭圆函数描述了如何从给出椭圆曲线 (elliptic curve)解的环面 (torus) 得到椭圆曲线 (elliptic curve)的代数形式。

可以找到魏尔斯特拉斯椭圆函数产生的微分方程，方法是在原点附近展开函数 f(z)=P(z)-z^(-2)。

P(z)-z^(-2)=f(0)+f^'(0)z+1/(2!)f^('')(0)z^2+1/(3!)f^(''')(0)z^3+1/(4!)f^((4))(0)z^4+....
(15)

但是 f(0)=0 且该函数是偶函数，所以 f^'(0)=f^(''')(0)=0 且

f(z)=P(z)-z^(-2)=1/(2!)f^('')(0)z^2+1/(4!)f^((4))(0)z^4+....
(16)

取导数

f^'=-2Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-3)
(17)
f^('')=6Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-4)
(18)
f^(''')=-24Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-5)
(19)
f^((4))=120Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-6).
(20)

所以

f^('')(0)=6Sigma^'Omega_(mn)^(-4)
(21)
f^((4))(0)=120Sigma^'Omega_(mn)^(-6).
(22)

代入，

P(z)-z^(-2)=3Sigma^'Omega_(mn)^(-4)z^2+5Sigma^'Omega_(mn)^(-6)z^4+O(z^6).
(23)

定义椭圆不变量 (elliptic invariants)

g_2=60Sigma^'Omega_(mn)^(-4)
(24)
g_3=140Sigma^'Omega_(mn)^(-6),
(25)

那么

P(z)=z^(-2)+1/(20)g_2z^2+1/(28)g_3z^4+O(z^6)
(26)
P^'(z)=-2z^(-3)+1/(10)g_2z+1/7g_3z^3+O(z^5).
(27)

现在对 (26) 求立方，对 (27) 求平方

P^3(z)=z^(-6)+3/(20)g_2z^(-2)+3/(28)g_3+O(z^2)
(28)
P^'^2(z)=4z^(-6)-2/5g_2z^(-2)-4/7g_3+O(z^2).
(29)

取 (29) 减去 4× (28) 消去 z^(-6) 项，得到

P^'^2(z)-4P^3(z)=(-2/5-3/5)g_2z^(-2)+(-4/7-3/7)g_3+O(z^2)
(30)
=-g_2z^(-2)-g_3+O(z^2)
(31)

给出

P^'^2(z)-4P^3(z)+g_2z^(-2)+g_3=O(z^2).
(32)

但是，从 (◇) 可以得到

P(z)=z^(-2)+1/(2!)f^('')(0)z^2+1/4f^((4))(0)z^4+...,
(33)

所以 P(z)=z^(-2)+O(z^2)，且 (◇) 可以写成

P^'^2(z)-4P^3(z)+g_2P(z)+g_3=O(z^2).
(34)

但是魏尔斯特拉斯椭圆函数在原点处是解析的，因此在所有与原点全等的点处也是解析的。没有其他地方可能发生奇点，因此该函数是椭圆函数 (elliptic function)，没有奇点 (singularities)。根据刘维尔椭圆函数定理 (Liouville's elliptic function theorem)，它因此是一个常数。但是当 z->0 时，O(z^2)->0，所以

P^'^2(z)=4P^3(z)-g_2P(z)-g_3
(35)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 436-437）。

微分方程的解

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3
(36)

因此由 y=P(z+alpha) 给出，前提是存在满足定义椭圆不变量 (elliptic invariants)的方程的数 omega_1 和 omega_2。用其根 e_1，e_2 和 e_3 表示微分方程，

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3=4(y-e_1)(y-e_2)(y-e_3)
(37)

（Rainville 1971, p. 312），

2ln(y^')=ln4+sum_(r=1)^3ln(y-e_r)
(38)
(2y^(''))/(y^')=y^'sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)
(39)
(2y^(''))/(y^'^2)=sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)
(40)
2(y^'^2y^(''')-y^('')(2y^'y^('')))/(y^'^4)=-y^'sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)
(41)
(2y^('''))/(y^'^3)-(4y^('')^2)/(y^'^4)=-sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2).
(42)

现在取 (◇) 除以 4 加上 [(◇) 除以 4] 的平方量，

((y^('''))/(2y^'^3)-(y^('')^2)/(y^'^4))+((y^('')^2)/(4y^'^4))=-1/4sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)+1/(16)[sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)]^2
(43)
(3y^('')^2)/(4y^'^4)-(y^('''))/(2y^'^3)=3/(16)sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)-3/8yproduct_(r=1)^3(y-e_r)^(-1).
(44)

右边的项是施瓦茨导数 (Schwarzian derivative)的一半。

魏尔斯特拉斯椭圆函数的导数 (derivative)由下式给出

P^'(z)=d/(dz)P(z)
(45)
=-2sum_(m,n)1/((z-Omega_(mn))^3)
(46)
=-2z^(-3)-2sum^'_(m,n)(z-Omega_(mn))^(-3).
(47)

这是一个奇函数 (odd function)，它本身是一个椭圆函数，在 z=0 处具有 3 阶极点。 积分 (integral) 由下式给出

z=int_(P(z))^infty(4t^3-g_2t-g_3)^(-1/2)dt.
(48)

二阶导数满足

P^('')(1/2omega_1)=2(e_1-e_2)(e_1-e_3)
(49)

（Apostol 1997, p. 23）。

二倍角公式如下获得。

P(2z)=lim_(y->z)P(y+z)=1/4lim_(y->z)[(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))]^2-P(z)-lim_(y->z)P(y)
(50)
=1/4lim_(h->0)[(P(z)-P^'(z+h))/(P(z)-P(z+h))]^2-2P(z)
(51)
=1/4{[lim_(h->0)(P^'(z)-P^'(z+h))/h][lim_(h->0)h/(P(z)-P(z+h))]}^2-2P(z)
(52)
=1/4[(P^('')(z))/(P^'(z))]^2-2P(z)
(53)

（Apostol 1997, p. 24）。

一般加法定理如下获得。给定

P^'(z)=AP(z)+B
(54)
P^'(y)=AP(y)+B
(55)

零 y 和 z，其中 z≢+/-y(mod 2omega_1,2omega_2)，找到第三个零点 zeta。考虑 P^'(zeta)-AP(zeta)-B。这在 zeta=0 处有一个三阶极点，但 椭圆函数 (elliptic function) 的零点之和（=0）等于极点之和，所以 z+y+zeta=0 且 zeta=-z-y。

P^'(-z-y)=AP(-z-y)+B
(56)
-P^'(z+y)=AP(z+y)+B.
(57)

组合 (◇)、(◇) 和 (◇) 得到

[P(z) P^'(z) 1; P(y) P^'(y) 1; P(z+y) -P^'(z+y) 1][A; -1; B]=[0; 0; 0],
(58)

所以

|P(z) P^'(z) 1; P(y) P^'(y) 1; P(z+y) -P^'(z+y) 1|=0.
(59)

定义 u+v+w=0，其中 u=z 和 v=y，得到对称形式

|P(u) P^'(u) 1; P(v) P^'(v) 1; P(w) P^'(w) 1|=0
(60)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 440）。为了明确获得表达式，再次从

P^'(zeta)-AP(zeta)-B=0,
(61)

开始，其中 zeta=z,y,-z-y。

P^'^2(zeta)-[AP(zeta)+B]^2=0.
(62)

但是从 (◇) 可以得到 P^('2)(zeta)=4P^3(zeta)-g_2P(zeta)-g_3，所以

4P^3(zeta)-A^2P^2(zeta)-(2AB+g_2)P(zeta)-(B^2+g_3)=0.
(63)

解 P(zeta)=z 由下式给出

4z^3-A^2z^2-(2AB+g_2)z-(B^2+g_3)=0.
(64)

但是根的和等于平方项的系数 (coefficient)，所以

P(z)+P(y)+P(z+y)=1/4A^2
(65)
P^'(z)-P^'(y)=A[P(z)-P(y)]
(66)
A=(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))
(67)
P(z+y)=1/4[(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))]^2-P(z)-P(y)
(68)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 441）。

半周期恒等式包括

x=P(1/2omega_1)
(69)
=P(-homega_1+omega_1)
(70)
=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(P(-1/2omega_1)-e_1)
(71)
=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(x-e_1).
(72)

两边同乘，

x^2-e_1x=e_1x-e_1^2+(e_1-e_2)(e_1-e_3)
(73)
x^2-2e_1x+[e_1^2-(e_1-e_2)(e_1-e_3)]=0,
(74)

得到

P(1/2omega_1)=1/2{2e_1+/-sqrt(4e_1^2-4[e_1^2-(e_1-e_2)(e_1-e_3)])}
(75)
=e_1+/-sqrt((e_1-e_2)(e_1-e_3)).
(76)

来自 Whittaker 和 Watson (1990, p. 445)，

P^'(1/2omega_1)=-2sqrt((e_1-e_2)(e_1-e_3))(sqrt(e_1-e_2)+sqrt(e_1-e_3)).
(77)

该函数是齐次 (homogeneous)的，

P(lambdaz|lambdaomega_1,lambdaomega_2)=lambda^(-2)P(z|omega_1,omega_2)
(78)
P(lambdaz;lambda^(-4)g_2,lambda^(-6)g_3)=lambda^(-2)P(z;g_2,g_3).
(79)

为了反转函数，当给定 P(z;g_2,g_3) 时，找到 2omega_1 和 2omega_2 的 P(z|omega_1,omega_2)。令 e_1、e_2 和 e_3 为根，使得 (e_1-e_2)/(e_1-e_3) 不是实数 (real number) >1 或 <0。从下式确定半周期比 (half-period ratio) tau，

(e_1-e_2)/(e_1-e_3)=(theta_4^4(0|tau))/(theta_3^4(0|tau)).
(80)

现在选择

A=(sqrt(e_1-e_2))/(theta_4^2(0|tau)).
(81)

只要 g_2^3!=27g_3，周期就是

2omega_1=piA
(82)
2omega_2=(pitau)/A.
(83)

魏尔斯特拉斯椭圆函数可以用 雅可比椭圆函数 (Jacobi elliptic functions) 表示为

P(u;g_2,g_3)=e_3+(e_1-e_3)ns^2(usqrt(e_1-e_3),sqrt((e_2-e_3)/(e_1-e_3))),
(84)

其中

P(omega_1)=e_1
(85)
P(omega_2)=e_2
(86)
P(omega_3)=-P(-omega_1-omega_2)=e_3,
(87)

并且椭圆不变量 (elliptic invariants)是

g_2=60sum^'_(m,n)Omega_(mn)^(-4)
(88)
g_3=140sum^'_(m,n)Omega_(mn)^(-6).
(89)

这里，Omega_(mn)=2momega_1-2nomega_2。

魏尔斯特拉斯椭圆函数的加法公式可以推导如下（Whittaker 和 Watson 1990, p. 444）。

P(z+omega_1)+P(z)+P(omega_1)=1/4[(P^'(z)-P^'(omega_1))/(P(z)-P(omega_1))]^2=1/4(P^'^2(z))/([P(z)-e_1]^2).
(90)

使用

P^('2)(z)=4product_(r=1)^3[P(z)-e_r],
(91)

所以

P(z+omega_1)=-P(z)-e_1+1/4(4product_(r=1)^(3)[P(z)-e_r])/([P(z)-e_1]^2)
(92)
=-P(z)-e_1+([P(z)-e_2][P(z)-e_3])/(P(z)-e_1).
(93)

使用 sum_(r=1)^(3)e_r=0,

P(z+omega_1)=e_1+([-2e_1-P(z)][P(z)-e_1])/(P(z)-e_1)+(P^2(z)-P(z)(e_2+e_3)+e_2e_3)/(P(z)-e_1)
(94)
=e_1+(-P(z)(e_1+e_2+e_3)+e_2e_3+2e_1^2)/(P(z)-e_1).
(95)

但是 sum_(r=1)^(3)e_r=0 且

2e_1^2+e_2e_3=e_1^2-e_1(e_2+e_3)+e_2e_3=(e_1-e_2)(e_1-e_3),
(96)

所以

P(z+omega_1)=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(P(z)-e_1).
(97)

魏尔斯特拉斯椭圆函数的周期如下给出。当 g_2 和 g_3 是实数 (real) 且 g_2^3-27g_3^2>0 时，则 e_1、e_2 和 e_3 是实数 (real)，并定义为 e_1>e_2>e_3。

omega_1=int_(e_1)^infty(4t^3-g_2t-g_3)^(-1/2)dt
(98)
omega_3=-iint_(-infty)^(e_3)(g_3+g_2t-4t^3)^(-1/2)dt
(99)
omega_2=-omega_1-omega_3.
(100)

魏尔斯特拉斯椭圆函数的根满足

e_1=P(omega_1)
(101)
e_2=P(omega_2)
(102)
e_3=P(omega_3),
(103)

其中 omega_3=-omega_1-omega_2。e_i 是 4t^3-g_2t-g_3 的根 (roots)，并且是不相等的，因此 e_1!=e_2!=e_3。它们可以从以下关系式中找到

e_1+e_2+e_3=-a_2=0
(104)
e_2e_3+e_3e_1+e_1e_2=a_1=-1/4g_2
(105)
e_1e_2e_3=-a_0=1/4g_3.
(106)

另请参阅 (Lìng qǐng cān yuè)

椭圆曲线 (Elliptic Curve), 椭圆函数 (Elliptic Function), 艾森斯坦级数 (Eisenstein Series), 椭圆不变量 (Elliptic Invariants), 等调和情况 (Equianharmonic Case), 半周期 (Half-Period), 半周期比 (Half-Period Ratio), 雅可比椭圆函数 (Jacobi Elliptic Functions), 双纽线情况 (Lemniscate Case), omega2 常数 (omega2 Constant), 伪双纽线情况 (Pseudolemniscate Case), 魏尔斯特拉斯 Sigma 函数 (Weierstrass Sigma Function), 魏尔斯特拉斯 Zeta 函数 (Weierstrass Zeta Function)

相关 Wolfram 网站 (Xiāngguān Wolfram wǎngzhàn)

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassPPrime/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassHalfPeriods/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/InverseWeierstrassP/

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参考文献 (Cānkǎo wénxiàn)

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "魏尔斯特拉斯椭圆和相关函数 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hé xiāngguān hánshù)." Ch. 18 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷 (Shùxué hánshù shǒucè, bāohán gōngshì, túbiǎo hé shùxué biǎogé, dì 9 cì yìnshuā). New York: Dover, pp. 627-671, 1972.Apostol, T. M. "魏尔斯特拉斯 P 函数 (Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù)," "原点附近的 P 的劳伦展开 (Yuándiǎn fùjìn de P de láolún zhǎnkāi)," "P 满足的微分方程 (P mǎnzú de wēifēn fāngchéng)," "艾森斯坦级数和不变量 g_2 和 g_3 (Àisēn sī tǎn jíshù hé bù biànliàng g_2 hé g_3)," "数字 e_1, e_2, 和 e_3 (Shùzì e_1, e_2, hé e_3)," 和 "判别式 Delta (Pànbié shì Delta)." §1.6-1.11 in 数论中的模函数和狄利克雷级数，第 2 版 (Shùlùn zhōng de mó hánshù hé dílìkè léi jíshù, dì 2 bǎn). New York: Springer-Verlag, pp. 9-14, 1997.Brezhnev, Y. V. "均匀化：关于 Burnside 曲线 y^2=x^5-x (Jūnyúnhuà: Guānyú Burnside qūxiàn y^2=x^5-x)." 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Eichler, M. 和 Zagier, D. "关于魏尔斯特拉斯 P 函数的零点 (Guānyú Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù de língdiǎn)." Math. Ann. 258, 399-407, 1982.Fischer, G. (Ed.). Plates 129-131 in 大学和博物馆收藏中的数学模型，图册 (Dàxué hé bówùguǎn shōucáng zhōng de shùxué móxíng, túcè). Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 126-128, 1986.Huang, J. "调和格点和的积分表示 (Tiáohé gédiǎn hé de jīfēn biǎoshì)." J. Math. Phys. 40, 5240-5246, 1999.Rainville, E. D. 特殊函数 (Tèshū hánshù). New York: Chelsea, 1971.Tölke, F. "特殊魏尔斯特拉斯 P 函数 (Tèshū Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù)." Ch. 4 in 实用函数理论，第二卷：Theta 函数和特殊魏尔斯特拉斯函数 (Shíyòng hánshù lǐlùn, dì èr juàn: Theta hánshù hé tèshū wěi'ěr sī tè lā sī hánshù). Berlin: Springer-Verlag, pp. 115-244, 1966.Tölke, F. 实用函数理论，第五卷：一般魏尔斯特拉斯函数和参数的导数。Theta 函数和双线性展开式的积分 (Shíyòng hánshù lǐlùn, dì wǔ juàn: Yībān wěi'ěr sī tè lā sī hánshù hé cānshù de dàoshù. Theta hánshù hé shuāngxiànxìng zhǎnkāi shì de jīfēn). Berlin: Springer-Verlag, 1968.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版 (Xiàndài fēnxī jiàochéng, dì 4 bǎn). Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Woods, F. S. "函数 p(u) (Hánshù p(u))." §160 in 高等微积分：为应用数学专业的学生的需求而安排的课程 (Gāoděng wēijīfēn: Wèi yìngyòng shùxué zhuānyè de xuésheng de xūqiú ér ānpái de kèchéng). Boston, MA: Ginn, pp. 381-382, 1926.

在 Wolfram|Alpha 上被引用 (Zài Wolfram|Alpha shàng bèi yǐnyòng)

魏尔斯特拉斯椭圆函数 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)

请引用本文献 (Qǐng yǐnyòng běn wénxiàn)

Weisstein, Eric W. "魏尔斯特拉斯椭圆函数 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源 (Yīgè Wolfram wǎngluò zīyuán). https://mathworld.net.cn/WeierstrassEllipticFunction.html

主题分类 (Zhǔtí fēnlèi)