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第一类椭圆积分

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设椭圆模量 k 满足 0<k^2<1, 并且 雅可比振幅 由 phi=amu 给出，其中 -pi/2<phi<pi/2。则第一类不完全椭圆积分定义为

u=F(phi,k)=int_0^phi(dtheta)/(sqrt(1-k^2sin^2theta)).
(1)

第一类椭圆积分在 Wolfram 语言 中实现为EllipticF[phi, m] (注意使用参数 m=k^2 而不是模数 k)。

设

t=sintheta
(2)
dt=costhetadtheta
(3)
=sqrt(1-t^2)dtheta,
(4)

方程 (1) 可以写成

F(phi,k)=int_0^(sinphi)1/(sqrt(1-k^2t^2))(dt)/(sqrt(1-t^2))
(5)
=int_0^(sinphi)(dt)/(sqrt((1-k^2t^2)(1-t^2))).
(6)

设

v=tantheta
(7)
dv=sec^2thetadtheta=(1+v^2)dtheta,
(8)

则该积分也可以写成

F(phi,k)=int_0^(tanphi)(dv)/(sqrt((1+v^2)(1+k^('2)v^2))),
(9)

其中 k^('2)=1-k^2 是互补椭圆模量。

F(phi,k) 的反函数由雅可比振幅给出

F^(-1)(u,k)=phi=am(u,k).
(10)

积分

I=1/(sqrt(2))int_0^(theta_0)(dtheta)/(sqrt(costheta-costheta_0)),
(11)

它出现在计算单摆周期中，也是第一类椭圆积分。使用

costheta=1-2sin^2(1/2theta)
(12)
sin(1/2theta)=sqrt((1-costheta)/2)
(13)

写成

sqrt(costheta-costheta_0)=sqrt(1-2sin^2(1/2theta)-costheta_0)
(14)
=sqrt(1-costheta_0)sqrt(1-2/(1-costheta_0)sin^2(1/2theta))
(15)
=sqrt(2)sin(1/2theta_0)sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2(1/2theta)),
(16)

所以

I=1/2int_0^(theta_0)(dtheta)/(sin(1/2theta_0)sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2(1/2theta))).
(17)

现在设

sin(1/2theta)=sin(1/2theta_0)sinphi,
(18)

因此，当 theta 从 0 变化到 theta_0 时，角度 theta 转换为

phi=sin^(-1)[(sin(1/2theta))/(sin(1/2theta_0))],
(19)

其范围从 0 到 pi/2 。取微分得到

1/2cos(1/2theta)dtheta=sin(1/2theta_0)cosphidphi,
(20)

或

1/2sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi)dtheta=sin(1/2theta_0)cosphidphi.
(21)

代入得到

I=int_0^(pi/2)1/(sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi))(sin(1/2theta_0)cosphidphi)/(sin(1/2theta_0)sqrt(1-sin^2phi))
(22)
=int_0^(pi/2)(dphi)/(sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi))
(23)
=K(sin(1/2theta_0)),
(24)

所以

I=1/(sqrt(2))int_0^(theta_0)(dtheta)/(sqrt(costheta-costheta_0))
(25)
=K(sin(1/2theta_0)).
(26)

进行略有不同的替换 phi=theta/2，因此 dtheta=2dphi 导致一个等价的，但更复杂的表达式，涉及第一类不完全椭圆积分，

I=21/(sqrt(2))1/(sqrt(2))csc(1/2theta_0)int_0^(theta_0)(dphi)/(sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2phi))
(27)
=csc(1/2theta_0)F(1/2theta_0,csc(1/2theta_0)).
(28)
EllipticFReIm
EllipticFContours

因此，恒等式

F(z,cscz)=sinzK(sinz)
(29)

至少在复平面的某些区域上成立。适用区域为 -pi/2<R[z]<pi/2，如上所示。

第一类椭圆积分满足

F(-phi,k)=-F(phi,k).
(30)

F(phi,k) 的特殊值包括

F(0,k)=0
(31)
F(1/2pi,k)=K(k),
(32)

其中 K(k) 被称为第一类完全椭圆积分。

另请参阅

第一类完全椭圆积分, 椭圆特征, 第二类椭圆积分, 第三类椭圆积分, 椭圆积分奇值, 椭圆模量, 高斯变换, 雅可比振幅, 兰登变换, 勒让德关系, 模角, 参数

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticF/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Complete Elliptic Integrals K(p) and E(p)" and "The Incomplete Elliptic Integrals F(p;phi) and E(p;phi)." Chs. 61-62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 609-633, 1987.Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in Praktische Funktionenlehre, zweiter Band: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.Tölke, F. "Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktionen sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen," and "Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche Pi-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter, und dritter Gattung." Chs. 6-7 in Praktische Funktionenlehre, dritter Band: Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 58-144, 1967.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第一类椭圆积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "第一类椭圆积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

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