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椭圆模

椭圆模 k 是在 椭圆积分 和 椭圆函数 中使用的量，定义为 k=sqrt(m), 其中 m 是 参数。当使用 参数 时，椭圆积分 写为 I(phi|m)，而当使用椭圆模时，通常写为 I(phi,k)。椭圆模比 参数 更常用（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 337 页；Whittaker 和 Watson 1990，第 479 页），尽管 Abramowitz 和 Stegun (1972, pp. 587-607) 的大部分内容，即关于椭圆积分的整个章节，以及 Wolfram Language 的EllipticE, EllipticF, EllipticK, EllipticPi等等，都使用 参数。

椭圆模可以用零引数的 雅可比 Theta 函数 和 nome q 显式计算为

k=(theta_2^2(0,q))/(theta_3^2(0,q)).
(1)

实周期 K(k) 和 虚数 周期 K^'(k)=K(k^')=K(sqrt(1-k^2)) 由下式给出

4K(k)=2pitheta_3^2(0|tau)
(2)
2iK^'(k)=pitautheta_3^2(0|tau),
(3)

其中 K(k) 是 第一类完全椭圆积分，互补模定义为

k^('2)=1-k^2,
(4)

其中 k 是模。

另请参阅

互补模, 椭圆特征标, 椭圆函数, 椭圆积分, 椭圆积分奇异值, 半周期比, 雅可比振幅, 雅可比 Theta 函数, 模角, Nome, 参数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 590, 1972.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi 与 AGM：解析数论与计算复杂性研究。 New York: Wiley, p. 35, 1987.Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in 实用函数理论，第二卷：Theta 函数和特殊魏尔斯特拉斯函数。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

椭圆模

请引用为

Weisstein, Eric W. "椭圆模。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticModulus.html

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