初等函数

由常数函数、域运算（加法、乘法、除法和开方——基本运算）以及代数函数、指数函数和对数函数及其反函数通过有限次复合运算构造而成的函数（Shanks 1993, p. 145; Chow 1999）。最简单的初等函数包括对数函数、指数函数（包括双曲函数）、幂函数和三角函数。

根据 Liouville (1837, 1838, 1839) 的定义，Watson (1966, p. 111) 将初等超越函数定义为

			(1)
			(2)
			(3)

并令等。

并非所有函数都是初等函数。例如，正态分布函数

			(4)
			(5)

就是一个著名的非初等函数的例子，其中是 erf（有时称为误差函数）。椭圆积分

(6)

是另一个例子，其中是第一类椭圆积分。

另请参见

代数函数, 基本运算, Liouville 原理, Risch 算法, 特殊函数, 对称多项式, 超越函数

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参考文献

Bronstein, M. Symbolic Integration I: Transcendental Functions. New York: Springer-Verlag, 1997.Chow, T. Y. "What is a Closed-Form Number." Amer. Math. Monthly 106, 440-448, 1999.Geddes, K. O.; Czapor, S. R.; and Labahn, G. "Elementary Functions." §12.2 in Algorithms for Computer Algebra. Amsterdam, Netherlands: Kluwer, pp. 512-519, 1992.Hardy, G. H. Orders of Infinity: The 'infinitarcalcul' of Paul Du Bois-Reymond, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1924.Knopp, K. "The Elementary Functions." §23 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 96-98, 1996.Liouville, J. "Sur la classification des Transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1." J. Math. pure appl. 2, 56-105, 1837.Liouville, J. "Sur la classification des Transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2." J. Math. pure appl. 3, 523-547, 1838.Liouville, J. "Sur l'integration d'une classe d'Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites." J. Math. pure appl. 4, 423-456, 1839.Marchisotto, E. A. and Zakeri, G.-A. "An Invitation to Integration in Finite Terms." College Math. J. 25, 295-308, 1994.Ritt, J. F. "Elementary Functions and Their Inverses." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 68-90, 1925.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.Trott, M. "Elementary Transcendental Functions." §2.2.3 in The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 164-171, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 111, 1966.Zoładek, H. "Two Remarks About Picard-Vessiot Extensions and Elementary Functions. Dedicated to the Memory of Anzelm Iwanik." Colloq. Math. 84/85, 173-183, 2000.

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Weisstein, Eric W. "初等函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ElementaryFunction.html

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