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椭圆积分奇异值

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当椭圆模量 k 具有奇异值时，完全椭圆积分可以用 伽玛函数 以解析形式计算。阿贝尔（引自 Whittaker 和 Watson 1990，第 525 页）证明，每当

(K^'(k))/(K(k))=(a+bsqrt(n))/(c+dsqrt(n)),
(1)

其中 a, b, c, d 和 n 是整数，K(k) 是第一类完全椭圆积分，并且 K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)) 是互补的第一类完全椭圆积分，则椭圆模量 k 是具有整数 系数的代数方程的根。

一个椭圆模量 k_r 使得

(K^'(k_r))/(K(k_r))=sqrt(r),
(2)

被称为椭圆积分的奇异值。椭圆 lambda 函数 lambda^*(r) 给出了 k_r 的值。

Selberg 和 Chowla (1967) 表明 K(lambda^*(r)) 和 E(lambda^*(r)) 可以用有限数量的 伽玛函数 表示。第二类完全椭圆积分 E(k_r) 和 E^'(k_r) 可以用 K(k_r) 和 K^'(k_r) 以及 椭圆 alpha 函数 alpha(r) 表示。

下面总结了对于小整数 r 的 K(k_r) 的值，以 伽玛函数 Gamma(z) 表示。

K(k_1)=(Gamma^2(1/4))/(4sqrt(pi))
(3)
K(k_2)=(sqrt(sqrt(2)+1)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(2^(13/4)sqrt(pi))
(4)
K(k_3)=(3^(1/4)Gamma^3(1/3))/(2^(7/3)pi)
(5)
K(k_4)=((sqrt(2)+1)Gamma^2(1/4))/(2^(7/2)sqrt(pi))
(6)
K(k_5)=(sqrt(5)+2)^(1/4)sqrt((Gamma(1/(20))Gamma(3/(20))Gamma(7/(20))Gamma(9/(20)))/(160pi))
(7)
K(k_6)=sqrt((sqrt(2)-1)(sqrt(3)+sqrt(2))(2+sqrt(3)))sqrt((Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)))/(384pi))
(8)
K(k_7)=(Gamma(1/7)Gamma(2/7)Gamma(4/7))/(7^(1/4)·4pi)
(9)
K(k_8)=sqrt((2sqrt(2)+sqrt(1+5sqrt(2)))/(4sqrt(2)))((sqrt(2)+1)^(1/4)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(8sqrt(pi))
(10)
K(k_9)=(3^(1/4)sqrt(2+sqrt(3))Gamma^2(1/4))/(12sqrt(pi))
(11)
K(k_(10))=sqrt((2+3sqrt(2)+sqrt(5)))sqrt((Gamma(1/(40))Gamma(7/(40))Gamma(9/(40))Gamma((11)/(40))Gamma((13)/(40))Gamma((19)/(40))Gamma((23)/(40))Gamma((37)/(40)))/(2560pi^3))
(12)
K(k_(11))=[2+(17+3sqrt(33))^(1/3)-(3sqrt(33)-17)^(1/3)]^2(Gamma(1/(11))Gamma(3/(11))Gamma(4/(11))Gamma(5/(11))Gamma(9/(11)))/(11^(1/4)144pi^2)
(13)
K(k_(12))=(3^(1/4)(sqrt(2)+1)(sqrt(3)+sqrt(2))sqrt(2-sqrt(3))Gamma^3(1/3))/(2^(13/3)pi)
(14)
K(k_(13))=((18+5sqrt(13))^(1/4))/(sqrt(6656pi^5))sqrt(Gamma(1/(52))Gamma(7/(52))Gamma(9/(52))Gamma((11)/(52))Gamma((15)/(52))Gamma((17)/(52))Gamma((19)/(52))Gamma((25)/(52))Gamma((29)/(52))Gamma((31)/(52))Gamma((47)/(52))Gamma((49)/(52)))
(15)
K(k_(14))=-11-8sqrt(2)-4sqrt(5+4sqrt(2))-2sqrt(2(5+4sqrt(2)))+2sqrt(11+8sqrt(2))+2sqrt(2(11+8sqrt(2)))+sqrt(2(5+4sqrt(2))(11+8sqrt(2)))
(16)
K(k_(15))=sqrt(((sqrt(5)+1)Gamma(1/(15))Gamma(2/(15))Gamma(4/(15))Gamma(8/(15)))/(240pi))
(17)
K(k_(16))=((2^(1/4)+1)^2Gamma^2(1/4))/(2^(9/2)sqrt(pi))
(18)
K(k_(17))=C_1[(Gamma(1/(68))Gamma(3/(68))Gamma(7/(68))Gamma((11)/(68))Gamma((13)/(68)))/(Gamma(5/(68))Gamma((15)/(68))Gamma((19)/(68))Gamma((29)/(68)))]^(1/4)[Gamma((21)/(68))Gamma((25)/(68))Gamma((27)/(68))Gamma((31)/(68))Gamma((33)/(68))]^(1/4)
(19)
K(k_(25))=(sqrt(5)+2)/(20)(Gamma^2(1/4))/(sqrt(pi)),
(20)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，而 C_1 是一个代数数 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 298)。

Borwein 和 Zucker (1992) 给出了用 中心 Beta 函数 表示的完全椭圆积分奇异值的惊人表达式

beta(p)=B(p,p).
(21)

此外，他们表明对于 n=1,2 (mod 4)，K(k_n) 总是可以用这些函数表示。在这种情况下，表达式中出现的 Gamma(z) 函数是 形式 Gamma(t/4n)，其中 1<=t<=(2n-1) 且 (t,4n)=1。分子中的项取决于 克罗内克符号 {t/4n} 的符号。前几个 n 的值是

K(k_1)=2^(-2)beta(1/4)
(22)
K(k_2)=2^(-13/4)beta(1/8)
(23)
K(k_3)=2^(-4/3)3^(-1/4)beta(1/3)
(24)
=2^(-5/3)3^(-3/4)beta(1/6)
(25)
K(k_5)=2^(-33/20)5^(-5/8)(11+5sqrt(5))^(1/4)sin(1/(20)pi)beta(1/2)
(26)
=2^(-29/20)5^(-3/8)(1+sqrt(5))^(1/4)sin(3/(20)pi)beta(3/(20))
(27)
K(k_6)=2^(-47/12)3^(-3/4)(sqrt(2)-1)(sqrt(3)+1)beta(1/(24))
(28)
=2^(-43/12)3^(-1/4)(sqrt(3)-1)beta(5/(24))
(29)
K(k_7)=2·7^(-3/4)sin(1/7pi)sin(2/7pi)B(1/7,2/7)
(30)
=2^(-2/7)7^(-1/4)(beta(1/7)beta(2/7))/(beta(1/(14)))
(31)
K(k_(10))=2^(-61/20)5^(-1/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(sqrt(10)+3)(beta(1/8)beta(7/(40)))/(beta(1/340))
(32)
=2^(-15/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(beta(1/(40))beta(1/940))/(beta(3/8))
(33)
K(k_(11))=R·2^(-7/11)sin(1/(11)pi)sin(3/(11)pi)B(1/(22),3/(22))
(34)
K(k_(13))=2^(-3)13^(-5/8)(5sqrt(13)+18)^(1/4)[tan(1/(52)pi)tan(3/(52)pi)tan(9/(52)pi)]^(1/2)(beta(1/(52))beta(9/(52)))/(beta((23)/(52)))
(35)
K(k_(14))=sqrt(sqrt(4sqrt(2)+2)+sqrt(2)+sqrt(2sqrt(2)-1))·2^(-13/4)7^(-3/8)×[(tan(5/(56)pi)tan((13)/(56)pi))/(tan((11)/(56)pi))]^(1/4)sqrt((beta(5/(56))beta((13)/(56))beta(1/8))/(beta((11)/(56))))
(36)
K(k_(15))=2^(-1)3^(-3/4)5^(-7/12)B(1/(15),4/(15))
(37)
=(2^(-2)3^(-3/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-1)beta(1/(15))beta(4/(15)))/(beta(1/3))
(38)
K(k_(17))=C_2[(beta(1/(68))beta(3/(68))beta(7/(68))beta(9/(68))beta((11)/(68))beta((13)/(68)))/(beta(5/(68))beta((15)/(68)))]^(1/4),
(39)

其中 R 是实数 根 的

x^3-4x=4=0
(40)

且 C_2 是一个代数数 (Borwein 和 Zucker 1992)。请注意，K(k_(11)) 是上面列表中唯一不能用 中心 Beta 函数 表示的值。

使用 椭圆 alpha 函数，第二类 椭圆积分 也可以从以下公式找到

E=pi/(4sqrt(r)K)+[1-(alpha(r))/(sqrt(r))]K
(41)
E^'=pi/(4K)+alpha(r)K,
(42)

根据定义，

K^'=Ksqrt(r).
(43)

另请参阅

中心 Beta 函数, 椭圆 Alpha 函数, 椭圆 Delta 函数, 第一类椭圆积分, 第二类椭圆积分, 椭圆 Lambda 函数, 椭圆模量, 伽玛函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abel, N. H. "Recherches sur les fonctions elliptiques." J. reine angew. Math. 3, 160-190, 1828. Reprinted in Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., p. 377, 1988.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominator." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, pp. 75, 95, and 98, 1961.Glasser, M. L. and Wood, V. E. "A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral." Math. Comput. 22, 535-536, 1971.Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.Wrigge, S. "An Elliptic Integral Identity." Math. Comput. 27, 837-840, 1973.Zucker, I. J. "The Evaluation in Terms of Gamma-Functions of the Periods of Elliptic Curves Admitting Complex Multiplication." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82, 111-118, 1977.Zucker, I. J. and Joyce, G. S. "Special Values of the Hypergeometric Series II." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131, 309-319, 2001.

在 Wolfram|Alpha 中引用

椭圆积分奇异值

请按如下方式引用

魏斯坦, 埃里克·W. "椭圆积分奇异值。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegralSingularValue.html

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