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椭圆积分奇异值

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当椭圆模量 k 具有奇异值时，完全椭圆积分可以用 伽玛函数 以解析形式计算。阿贝尔（引自 Whittaker 和 Watson 1990，第 525 页）证明，每当

(K^'(k))/(K(k))=(a+bsqrt(n))/(c+dsqrt(n)),
(1)

其中 a, b, c, d 和 n 是整数，K(k) 是第一类完全椭圆积分，并且 K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)) 是互补的第一类完全椭圆积分，则椭圆模量 k 是具有整数 系数的代数方程的根。

一个椭圆模量 k_r 使得

(K^'(k_r))/(K(k_r))=sqrt(r),
(2)

被称为椭圆积分的奇异值。椭圆 lambda 函数 lambda^*(r) 给出了 k_r 的值。

Selberg 和 Chowla (1967) 表明 K(lambda^*(r)) 和 E(lambda^*(r)) 可以用有限数量的 伽玛函数 表示。第二类完全椭圆积分 E(k_r) 和 E^'(k_r) 可以用 K(k_r) 和 K^'(k_r) 以及 椭圆 alpha 函数 alpha(r) 表示。

下面总结了对于小整数 r 的 K(k_r) 的值，以 伽玛函数 Gamma(z) 表示。

K(k_1)=(Gamma^2(1/4))/(4sqrt(pi))
(3)
K(k_2)=(sqrt(sqrt(2)+1)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(2^(13/4)sqrt(pi))
(4)
K(k_3)=(3^(1/4)Gamma^3(1/3))/(2^(7/3)pi)
(5)
K(k_4)=((sqrt(2)+1)Gamma^2(1/4))/(2^(7/2)sqrt(pi))
(6)
K(k_5)=(sqrt(5)+2)^(1/4)sqrt((Gamma(1/(20))Gamma(3/(20))Gamma(7/(20))Gamma(9/(20)))/(160pi))
(7)
K(k_6)=sqrt((sqrt(2)-1)(sqrt(3)+sqrt(2))(2+sqrt(3)))sqrt((Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)))/(384pi))
(8)
K(k_7)=(Gamma(1/7)Gamma(2/7)Gamma(4/7))/(7^(1/4)·4pi)
(9)
K(k_8)=sqrt((2sqrt(2)+sqrt(1+5sqrt(2)))/(4sqrt(2)))((sqrt(2)+1)^(1/4)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(8sqrt(pi))
(10)
K(k_9)=(3^(1/4)sqrt(2+sqrt(3))Gamma^2(1/4))/(12sqrt(pi))
(11)
K(k_(10))=sqrt((2+3sqrt(2)+sqrt(5)))sqrt((Gamma(1/(40))Gamma(7/(40))Gamma(9/(40))Gamma((11)/(40))Gamma((13)/(40))Gamma((19)/(40))Gamma((23)/(40))Gamma((37)/(40)))/(2560pi^3))
(12)
K(k_(11))=[2+(17+3sqrt(33))^(1/3)-(3sqrt(33)-17)^(1/3)]^2(Gamma(1/(11))Gamma(3/(11))Gamma(4/(11))Gamma(5/(11))Gamma(9/(11)))/(11^(1/4)144pi^2)
(13)
K(k_(12))=(3^(1/4)(sqrt(2)+1)(sqrt(3)+sqrt(2))sqrt(2-sqrt(3))Gamma^3(1/3))/(2^(13/3)pi)
(14)
K(k_(13))=((18+5sqrt(13))^(1/4))/(sqrt(6656pi^5))sqrt(Gamma(1/(52))Gamma(7/(52))Gamma(9/(52))Gamma((11)/(52))Gamma((15)/(52))Gamma((17)/(52))Gamma((19)/(52))Gamma((25)/(52))Gamma((29)/(52))Gamma((31)/(52))Gamma((47)/(52))Gamma((49)/(52)))
(15)
K(k_(14))=-11-8sqrt(2)-4sqrt(5+4sqrt(2))-2sqrt(2(5+4sqrt(2)))+2sqrt(11+8sqrt(2))+2sqrt(2(11+8sqrt(2)))+sqrt(2(5+4sqrt(2))(11+8sqrt(2)))
(16)
K(k_(15))=sqrt(((sqrt(5)+1)Gamma(1/(15))Gamma(2/(15))Gamma(4/(15))Gamma(8/(15)))/(240pi))
(17)
K(k_(16))=((2^(1/4)+1)^2Gamma^2(1/4))/(2^(9/2)sqrt(pi))
(18)
K(k_(17))=C_1[(Gamma(1/(68))Gamma(3/(68))Gamma(7/(68))Gamma((11)/(68))Gamma((13)/(68)))/(Gamma(5/(68))Gamma((15)/(68))Gamma((19)/(68))Gamma((29)/(68)))]^(1/4)[Gamma((21)/(68))Gamma((25)/(68))Gamma((27)/(68))Gamma((31)/(68))Gamma((33)/(68))]^(1/4)
(19)
K(k_(25))=(sqrt(5)+2)/(20)(Gamma^2(1/4))/(sqrt(pi)),
(20)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，而 C_1 是一个代数数 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 298)。

Borwein 和 Zucker (1992) 给出了用 中心 Beta 函数 表示的完全椭圆积分奇异值的惊人表达式

beta(p)=B(p,p).
(21)

此外，他们表明对于 n=1,2 (mod 4)，K(k_n) 总是可以用这些函数表示。在这种情况下，表达式中出现的 Gamma(z) 函数是 形式 Gamma(t/4n)，其中 1<=t<=(2n-1) 且 (t,4n)=1。分子中的项取决于 克罗内克符号 {t/4n} 的符号。前几个 n 的值是

K(k_1)=2^(-2)beta(1/4)
(22)
K(k_2)=2^(-13/4)beta(1/8)
(23)
K(k_3)=2^(-4/3)3^(-1/4)beta(1/3)
(24)
=2^(-5/3)3^(-3/4)beta(1/6)
(25)
K(k_5)=2^(-33/20)5^(-5/8)(11+5sqrt(5))^(1/4)sin(1/(20)pi)beta(1/2)
(26)
=2^(-29/20)5^(-3/8)(1+sqrt(5))^(1/4)sin(3/(20)pi)beta(3/(20))
(27)
K(k_6)=2^(-47/12)3^(-3/4)(sqrt(2)-1)(sqrt(3)+1)beta(1/(24))
(28)
=2^(-43/12)3^(-1/4)(sqrt(3)-1)beta(5/(24))
(29)
K(k_7)=2·7^(-3/4)sin(1/7pi)sin(2/7pi)B(1/7,2/7)
(30)
=2^(-2/7)7^(-1/4)(beta(1/7)beta(2/7))/(beta(1/(14)))
(31)
K(k_(10))=2^(-61/20)5^(-1/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(sqrt(10)+3)(beta(1/8)beta(7/(40)))/(beta(1/340))
(32)
=2^(-15/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(beta(1/(40))beta(1/940))/(beta(3/8))
(33)
K(k_(11))=R·2^(-7/11)sin(1/(11)pi)sin(3/(11)pi)B(1/(22),3/(22))
(34)
K(k_(13))=2^(-3)13^(-5/8)(5sqrt(13)+18)^(1/4)[tan(1/(52)pi)tan(3/(52)pi)tan(9/(52)pi)]^(1/2)(beta(1/(52))beta(9/(52)))/(beta((23)/(52)))
(35)
K(k_(14))=sqrt(sqrt(4sqrt(2)+2)+sqrt(2)+sqrt(2sqrt(2)-1))·2^(-13/4)7^(-3/8)×[(tan(5/(56)pi)tan((13)/(56)pi))/(tan((11)/(56)pi))]^(1/4)sqrt((beta(5/(56))beta((13)/(56))beta(1/8))/(beta((11)/(56))))
(36)
K(k_(15))=2^(-1)3^(-3/4)5^(-7/12)B(1/(15),4/(15))
(37)
=(2^(-2)3^(-3/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-1)beta(1/(15))beta(4/(15)))/(beta(1/3))
(38)
K(k_(17))=C_2[(beta(1/(68))beta(3/(68))beta(7/(68))beta(9/(68))beta((11)/(68))beta((13)/(68)))/(beta(5/(68))beta((15)/(68)))]^(1/4),
(39)

其中 R 是实数 根 的

x^3-4x=4=0
(40)

且 C_2 是一个代数数 (Borwein 和 Zucker 1992)。请注意，K(k_(11)) 是上面列表中唯一不能用 中心 Beta 函数 表示的值。

使用 椭圆 alpha 函数，第二类 椭圆积分 也可以从以下公式找到

E=pi/(4sqrt(r)K)+[1-(alpha(r))/(sqrt(r))]K
(41)
E^'=pi/(4K)+alpha(r)K,
(42)

根据定义，

K^'=Ksqrt(r).
(43)

另请参阅

中心 Beta 函数, 椭圆 Alpha 函数, 椭圆 Delta 函数, 第一类椭圆积分, 第二类椭圆积分, 椭圆 Lambda 函数, 椭圆模量, 伽玛函数

使用 探索

参考文献

Abel, N. H. "Recherches sur les fonctions elliptiques." J. reine angew. Math. 3, 160-190, 1828. Reprinted in Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., p. 377, 1988.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominator." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, pp. 75, 95, and 98, 1961.Glasser, M. L. and Wood, V. E. "A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral." Math. Comput. 22, 535-536, 1971.Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.Wrigge, S. "An Elliptic Integral Identity." Math. Comput. 27, 837-840, 1973.Zucker, I. J. "The Evaluation in Terms of Gamma-Functions of the Periods of Elliptic Curves Admitting Complex Multiplication." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82, 111-118, 1977.Zucker, I. J. and Joyce, G. S. "Special Values of the Hypergeometric Series II." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131, 309-319, 2001.

在 中引用

椭圆积分奇异值

请按如下方式引用

魏斯坦, 埃里克·W. "椭圆积分奇异值。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegralSingularValue.html

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