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第二类椭圆积分

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设 椭圆模数 k 满足 0<k^2<1。（这也可以用参数 m=k^2 或 模角 alpha=sin^(-1)k 来表示。）则不完全第二类椭圆积分定义为

E(phi,k)=int_0^phisqrt(1-k^2sin^2theta)dtheta.
(1)

第二类椭圆积分在 Wolfram 语言 中实现为EllipticE[phi, m]（注意使用参数 m=k^2 而不是模数 k）。

完全第二类椭圆积分 E(k) 定义为

E(k)=E(1/2pi,k).
(2)

为了将第二类椭圆积分放在稍微不同的形式中，令

t=sintheta
(3)
dt=costhetadtheta=sqrt(1-t^2)dtheta,
(4)

因此，椭圆积分也可以写成

E(phi,k)=int_0^(sinphi)sqrt(1-k^2t^2)(dt)/(sqrt(1-t^2))
(5)
=int_0^(sinphi)sqrt((1-k^2t^2)/(1-t^2))dt.
(6)

在 (1) 中，将 sintheta 替换为 sinhtheta 的推广给出

-iE(iphi,-k)=int_0^phisqrt(1-k^2sinh^2theta)dtheta.
(7)

形式为 E(z,cscz) 的不完全第二类椭圆积分可以用第一类完全椭圆积分 K(k) 和第二类 E(k) 表示为

E(z,cscz)=csczE(sinz)-coszcotzK(sinz)
(8)

对于 -pi/2<R[z]<pi/2。

另请参阅

完全第二类椭圆积分，第一类椭圆积分，第三类椭圆积分，椭圆积分奇异值

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Complete Elliptic Integrals K(p) and E(p)" and "The Incomplete Elliptic Integrals F(p;phi) and E(p;phi)." Chs. 61 和 62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 609-633, 1987.Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in Praktische Funktionenlehre, zweiter Band: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.Tölke, F. "Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktionen sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen," and "Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche Pi-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter, und dritter Gattung." Chs. 6-7 in Praktische Funktionenlehre, dritter Band: Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 58-144, 1967.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第二类椭圆积分

请引用为

Weisstein, Eric W. “第二类椭圆积分。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegraloftheSecondKind.html

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