雅可比椭圆函数

雅可比椭圆函数是椭圆函数的标准形式。三个基本函数分别表示为 , , 和 ，其中 被称为椭圆模。 它们来源于第一类椭圆积分的反演，

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其中 , 是椭圆模，而 是雅可比幅角，得到

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由此，可以得出

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这些函数是三角函数的双周期推广，满足

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用雅可比 Theta 函数表示，

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(Whittaker 和 Watson 1990, p. 492), 其中 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 464)，椭圆模由下式给出

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雅可比椭圆函数的比率通过将分子椭圆函数的首字母与分母椭圆函数的首字母组合来表示。椭圆函数的倒数通过颠倒两个字母的顺序来表示。这些组合总共给出 12 个函数：cd、cn、cs、dc、dn、ds、nc、nd、ns、sc、sd 和 sn。这些函数在 Wolfram 语言中实现为JacobiSN[z, m] 等等。类似地，逆雅可比函数实现为InverseJacobiSN[v, m] 等等。

雅可比幅角 由 定义为

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为了简洁起见， 参数通常被省略，例如， 可以写成 。

雅可比椭圆函数在 和 中是周期性的，如下所示

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其中 是第一类完全椭圆积分，，而 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 503)。

, , 和 函数也可以定义为以下微分方程的解

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分别。

标准雅可比椭圆函数满足以下恒等式

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特殊值包括

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其中 是第一类完全椭圆积分， 是互补椭圆模 (Whittaker 和 Watson 1990, pp. 498-499)，并且

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用积分表示，

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(Whittaker 和 Watson 1990, p. 494)。

雅可比椭圆函数加法公式包括（例如，为了简洁起见， 写为 ），

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扩展到积分周期，

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对于复数参数，

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雅可比椭圆函数的导数包括

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(Hille 1969, p. 66; Zwillinger 1997, p. 136)。

涉及雅可比椭圆函数的双周期公式包括

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涉及雅可比椭圆函数的半周期公式包括

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平方公式包括

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雅可比椭圆函数的泰勒级数由 Hermite (1863)、Schett (1977) 和 Dumont (1981) 考虑过，

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(Abramowitz 和 Stegun 1972, eqn. 16.22)。