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第一类完全椭圆积分

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EllipticK
EllipticKReIm
EllipticKContours

第一类完全椭圆积分 K(k)，如上所示，是关于椭圆模数 k 的函数，定义为

K(k)=F(1/2pi,k)
(1)
=pi/2sum_(n=0)^(infty)[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^2k^(2n)
(2)
=1/2pi_2F_1(1/2,1/2;1;k^2)
(3)

其中 F(phi,k) 是不完全第一类椭圆积分，而 _2F_1(a,b;c;x) 是超几何函数。

它在 Wolfram 语言中实现为EllipticK[m]，其中 m=k^2 是参数。

它满足恒等式

pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=1/(sqrt(1-k^2))K(sqrt((k^2)/(k^2-1))),
(4)

其中 P_n(x) 是勒让德多项式。这简化为

pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=K(k)
(5)

对于 k 的所有复数值，可能除了实数 k 且 |k|>1 的情况。

此外，K(k) 满足恒等式

[K(sqrt(1/2(1-sqrt((1-2k^2)^2))))]^2 =(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^3(2kk^')^(2n),
(6)

其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是互补模数。令人惊讶的是，这简化为优美的形式

[K(k)]^2=(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^3(2kk^')^(2n)
(7)

对于 0<k<=1/sqrt(2) (Watson 1908, 1939)。

K(k) 可以用闭合形式计算 k=k_n 的特殊值，其中 k_n 称为椭圆积分奇异值。其他特殊值包括

K(-iinfty)=0
(8)
K(-infty)=0
(9)
K(0)=1/2pi
(10)
K(infty)=0
(11)
K(iinfty)=0.
(12)

K(ik) 满足

K(ik)=1/(sqrt(k^2+1))K(sqrt((k^2)/(k^2+1)))
(13)

可能模 sqrt(k^2) 的问题，这可以从 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 593) 中的公式 17.4.17 推导出来。

K(k) 通过以下方式与雅可比椭圆函数相关

K(k)=1/2pitheta_3^2(q),
(14)

其中 nome 定义为

q=e^(-piK^'(k)/K(k)),
(15)

其中 K^'(k)=K(k^')，其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是互补模数。

K(k) 满足勒让德关系式

E(k)K^'(k)+E^'(k)K(k)-K(k)K^'(k)=1/2pi,
(16)

其中 K(k) 和 E(k) 分别是第一类和第二类椭圆全积分，而 K^'(k) 和 E^'(k) 是互补积分。模数 k 为了简洁起见通常被省略，因此 K(k) 和 E(k) 通常简写为 K 和 E。

互补模数的积分 K(k^') 由下式给出

K(k^')=int_0^1(dt)/(sqrt((1-t^2)(1-k^('2)t^2)))
(17)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 501)，以及

(dK)/(dk)=(E(k))/(k(1-k^2))-(K(k))/k
(18)
d/(dk)(kk^('2)(dK)/(dk))=kK(k)
(19)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 521)，所以

E(k)=k(1-k^2)[(dK)/(dk)+(K(k))/k]
(20)
=(1-k^2)[k(dK)/(dk)+K(k)]
(21)

(参见 Whittaker 和 Watson 1990, p. 521)。

EllipticKODE

微分方程的解

d/(dk)[k(1-k^2)(dy)/(dk)]-ky=0
(22)

(Zwillinger 1997, p. 122; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 907) 是

y=C_1K(k)+C_2K^'(k),
(23)

其中两个解如上所示，K^'(k)=K(sqrt(1-k^2))。

K(k) 的定积分包括

int_0^1K(k)dk=2K
(24)
int_0^1K(sqrt(k))dk=2
(25)
int_0^1K(k^(1/4))dk=(20)/9
(26)
int_0^1(K(k^(1/4)))/(k^(1/4))dk=4,
(27)

其中 K（不要与 K(k) 混淆）是卡塔兰常数。

另请参阅

第三类完全椭圆积分、第二类完全椭圆积分、第一类椭圆积分、椭圆积分奇异值

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticK/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, 1972.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 圣地亚哥, CA: Academic Press, 2000.Watson G. N. "超几何函数乘积的展开式。" Quart. J. Pure Appl. Math. 39, 27-51, 1907.Watson G. N. "超几何函数平方的级数。" Quart. J. Pure Appl. Math. 40, 46-57, 1908.Watson, G. N. "三个三重积分。" Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 英国剑桥: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 波士顿, MA: Academic Press, p. 122, 1997.

在 Wolfram|Alpha 上引用

第一类完全椭圆积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "第一类完全椭圆积分。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html

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