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分部积分法

分部积分法是一种通过展开函数乘积的微分 d(uv) 并将原始积分用已知积分 intvdu 表示，来执行不定积分 intudv 或定积分 int_a^budv 的技巧。 单次分部积分从以下公式开始

d(uv)=udv+vdu,
(1)

并对两边积分，

intd(uv)=uv=intudv+intvdu.
(2)

整理得到

intudv=uv-intvdu.
(3)

例如，考虑积分 intxcosxdx 并令

u=x dv=cosxdx
(4)
du=dx v=sinx,
(5)

所以分部积分法给出

intxcosxdx=xsinx-intsinxdx
(6)
=xsinx+cosx+C,
(7)

其中 C 是一个积分常数。

该程序并非总是成功，因为 u 的某些选择可能会导致比原始积分更复杂的积分。 例如，再次考虑积分 intxcosxdx 并令

u=cosx dv=xdx du=-sinxdx v=1/2x^2,
(8)

得到

intxcosxdx=1/2x^2cosx-1/2intx^2(-sinx)dx
(9)
=1/2x^2cosx+1/2intx^2sinxdx,
(10)

这比原始积分更难（Apostol 1967，第218-219页）。

分部积分法也可能失败，因为它会导致回到原始积分。 例如，考虑 intx^(-1)dx 并令

u=x dv=x^(-2)dx du=dx v=-x^(-1),
(11)

那么

intx^(-1)dx=-1-int(-x^(-1))dx+C=intx^(-1)dx+C-1,
(12)

这与原始积分相同 (Apostol 1967, p. 219)。

类似的程序适用于定积分分部积分法，所以

int_a^budv=[uv]_a^b-int_a^bvdu,
(13)

其中 [f]_a^b=f(b)-f(a)。

分部积分法也可以应用 n 次于 intf^((n))(x)g(x)dx

u=g(x) dv=f^((n))(x)dx du=g^'(x)dx v=f^((n-1))(x).
(14)

因此，

intf^((n))(x)g(x)dx=g(x)f^((n-1))(x)-intf^((n-1))(x)g^'(x)dx.
(15)

但是

intf^((n-1))(x)g^'(x)dx=g^'(x)f^((n-2))(x)-intf^((n-2))(x)g^('')(x)dx
(16)
intf^((n-2))(x)g^('')(x)dx=g^('')(x)f^((n-3))(x)-intf^((n-3))(x)g^((3))(x)dx,
(17)

所以

intf^((n))(x)g(x)dx=g(x)f^((n-1))(x)-g^'(x)f^((n-2))(x) +g^('')(x)f^((n-3))(x)-...+(-1)^nintf(x)g^((n))(x)dx.
(18)

现在考虑稍微不同的形式 intf(x)g(x)dx。 第一次分部积分

u=f(x) dv=g(x)dx du=f^'(x)dx v=intg(x)dx,
(19)

所以

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-int[intg(x)dx]f^'(x)dx.
(20)

现在第二次分部积分，

u=f^'(x) dv=intg(x)dx du=f^('')(x)dx v=intintg(x)(dx)^2,
(21)

所以

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+int[intintg(x)(dx)^2]f^('')(x)dx.
(22)

第三次重复，

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-int[intintintg(x)(dx)^3]f^(''')(x)dx.
(23)

因此，在 n 次应用后，

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-...+(-1)^(n+1)f^((n))(x)int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1)+(-1)^nint[int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1)]f^((n+1))(x)dx.
(24)

如果 f^((n+1))(x)=0 （例如，对于一个 n 次多项式），最后一项为 0，所以求和在 n 项后终止，并且

intf(x)g(x)dx=f(x)intg(x)dx-f^'(x)intintg(x)(dx)^2+f^('')(x)intintintg(x)(dx)^3-...+(-1)^(n+1)f^((n))(x)int...int_()_(n+1)g(x)(dx)^(n+1).
(25)

另请参阅

达布公式, 积分, 积分, 反函数积分, 分部求和法

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册：公式、图表与数学表格，第9版. 纽约: Dover, p. 12, 1972.Apostol, T. M. "分部积分法." §5.9 in 微积分，第2版，卷. 1: 单变量微积分，附线性代数导论. Waltham, MA: Blaisdell, pp. 217-220, 1967.Bronshtein, I. N. 和 Semendyayev, K. A. 数学手册，第3版. 纽约: Springer-Verlag, p. 269, 1997.

请引用为

Eric W. Weisstein "分部积分法。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IntegrationbyParts.html

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