第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分，如上图所示为 的函数，定义为

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其中 是第二类不完全椭圆积分， 是超几何函数，而 是 Jacobi 椭圆函数。

它在 Wolfram Language 中实现为EllipticE[m]，其中 是参数。

对于 的特殊值，E(k) 可以用 和椭圆 alpha 函数 以闭合形式计算，其中 称为椭圆积分奇异值。其他特殊值包括

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第二类完全椭圆积分满足勒让德关系式

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其中 和 分别是第一类和第二类完全椭圆积分，而 和 是互补积分。其导数为

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(Whittaker and Watson 1990, 第 521 页)。

微分方程的解为

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(Zwillinger 1997, 第 122 页；Gradshteyn and Ryzhik 2000, 第 907 页) 由下式给出

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如果 是一个奇异值（即，

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其中 是椭圆 lambda 函数），并且 和椭圆 alpha 函数 也已知，则

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