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给定一个 Jacobi theta 函数，nome 定义为

q(k)=e^(piitau)
(1)
=e^(-piK^'(k)/K(k))
(2)
=e^(-piK(sqrt(1-k^2))/K(k))
(3)

(Borwein 和 Borwein 1987, pp. 41, 109 和 114)，其中 tau 是半周期比， K(k) 是第一类完全椭圆积分，而 k 是椭圆模量。 nome 在 Wolfram 语言中实现为EllipticNomeQ[m]。

查阅文献时需要格外小心，因为在模函数理论（特别是 Dedekind eta 函数）中，通常使用符号 q 来表示 e^(2piitau)，即通常 nome 的平方（例如，Berndt 1993, p. 139）。 在本文中，q 的模版本表示为

q^_=q^2=e^(2piitau)
(4)

(例如，Borwein 和 Borwein 1987, p. 118)。

NomeReIm
NomeContours

上面绘制了复数 k-平面中的 nome。

涉及 nome 的 Jacobi theta 函数的各种表示法包括

theta_i(z,q)=theta(z|tau),
(5)

其中 tau 是半周期比 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 464) 并且

theta_i=theta(0,q).
(6)

特殊值包括

q(0)=0
(7)
q(1/2)=e^(-pi)
(8)
q(1)=1.
(9)

nome 在参数 m 中具有麦克劳林级数，由下式给出

q(m)=1/(16)m+1/(32)m^2+(21)/(1024)m^3+(31)/(2048)m^4+(6257)/(524288)m^5+...
(10)

(OEIS A002639 和 A119349)。

nome 的导数为

(dq(m))/(dm)=(pi^2q(m))/(4(1-m)m[K(m)]^2),
(11)

其中 K(m) 是第一类完全椭圆积分，而 m=k^2 是椭圆模量。

存在一个非线性三阶微分方程

(m-1)^2m^2[q^'(m)]^4-q(m)^2{3(m-1)^2[q^('')(m)]^2m^2-2(m-1)^2q^'(m)q^((3))(m)m^2+(m^2-m+1)[q^'(m)]^2}=0
(12)

对于 q(m) (Bertrand 和 Zudilin 2000; Trott 2006, pp. 29-31)。

另请参阅

椭圆特征, 椭圆积分, 椭圆模量, 半周期比, 逆 Nome, Jacobi 幅度, Jacobi Theta 函数, 模角, 模判别式, 参数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticNomeQ/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 591, 1972.Berndt, B. C. Ramanujan's Theory of Theta-Functions, Theta Functions: from the Classical to the Modern. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 1-63, 1993.Bertrand, D.; 和 Zudilin, W. "On the Transcendence Degree of the Differential Field Generated by Siegel Modular Forms." 2000 年 6 月 23 日。 http://arxiv.org/abs/math.NT/0006176.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: 解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, 1987.Bramhall, J. N. "An Iterative Method for Inversion of Power Series." Comm. ACM 4, 317-318, 1961.Ferguson, H. R. P.; Nielsen, D. E.; 和 Cook, G. "A Partition Formula for the Integer Coefficients of the Theta Function Nome." Math. Comput. 29, 851-855, 1975.Fettis, H. E. "Note on the Computation of Jacobi's Nome and Its Inverse." Computing 4, 202-206, 1969.Fletcher, A. §III in "Guide to Tables of Elliptic Functions." Math. Tables Other Aids Computation 3, 229-281, 1948."Guide to Tables." §III in Math. Tables Other Aids Computation 3, 234, 1948.Hermite, C. Oeuvres, Vol. 4. Paris: Gauthier-Villars, p. 477, 1917.Lowan, A. N.; Blanch, G.; 和 Horenstein, W. "On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions." Bull. Amer. Math. Soc. 48, 737-738, 1942.Sloane, N. J. A. Sequences A002639/M5108 和 A119349 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tannery, J. 和 Molk, J. Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, Vol. 4. Paris: Gauthier-Villars, p. 141, 1902.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wang, Z. X. 和 Guo, D. R. Special Functions. Singapore: World Scientific, p. 512, 1989.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

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Weisstein, Eric W. "Nome." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Nome.html

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