Groupoid

目前至少有三种“groupoid”的定义在使用。

第一种类型的 groupoid 是在集合上具有二元运算符的代数结构。对运算符的唯一限制是闭包性（即，将二元运算符应用于给定集合的两个元素返回的值本身是的成员）。不要求结合性、交换性等（Rosenfeld 1968, pp. 88-103）。groupoid 可以是空的。这种类型具有, 2, ... 个元素的非同构 groupoid 的数量分别为 1, 10, 3330, 178981952, ... (OEIS A001329)，以及非同构和非反同构 groupoid 的相应数量分别为 1, 7, 1734, 89521056, ... (OEIS A001424)。结合 groupoid 称为半群。

第二种类型的 groupoid 大致是一个范畴，它在某种意义上是“类群”的，即每个态射（或箭头）都是可逆的。为了使这个概念更精确，人们说 groupoid 是一个范畴，它由对象的集合和箭头的集合组成，其中每个箭头在中都有一个逆箭头（也在中），服从恒等式和。这里，表示箭头的源，表示的目标，并且等于对象的恒等箭头。这种 groupoid 的概念已在现代数学中得到广泛应用，并且通常被认为在许多领域中推广了许多群论概念；特别地，可以定义流形的基本 groupoid，以及更一般的对象，例如李群 groupoid、完整群 groupoid、Étale groupoid 等（Moerdijk 和 Mrčun 2003）。

第三种类型的 groupoid 是 Brandt (1926) 首先定义的代数结构，也称为虚拟群。以为基（或“在上”）的 groupoid 是一个集合，带有从到的映射和，以及一个部分定义的二元运算，满足以下四个条件

1. 当时，被定义，在这种情况下，和。

2. 结合性：如果和中的任何一个被定义，那么另一个也被定义，并且它们相等。

3. 对于每个，分别存在左恒等元素和右恒等元素，满足。

4. 每个都有一个逆元，满足和。

任何群都是以单点为基的 groupoid。

以为基的最基本 groupoid 示例是对偶 groupoid，其中，并且，，以及乘法。 上的任何等价关系都定义了对偶 groupoid的子 groupoid。

考虑第三种类型的 groupoid 的一个有用的方法是将其视为上的参数化等价关系，如下所示。给定在上的 groupoid，通过为每个定义上的等价关系。这种等价关系是“参数化的”，因为在中可能存在多个元素产生相同的等价关系，即和 使得和。

虽然这并不明显，但可以经过一些工作表明，第二种和第三种定义实际上是等价的。