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笛卡尔圆定理

阿波罗尼斯问题的一个特例，需要确定一个与三个互相相切的圆相切的圆（也称为亲吻圆问题）。存在两个解：一个是被三个原始圆包围的小圆，以及一个包围原始三个圆的大圆。弗雷德里克·索迪给出了用于计算所谓内索迪圆和外索迪圆的半径的公式，已知其他三个圆的半径。其关系是

2(kappa_1^2+kappa_2^2+kappa_3^2+kappa_4^2)=(kappa_1+kappa_2+kappa_3+kappa_4)^2,

其中 kappa_i=1/r_i 是半径为 r_i 的圆的曲率。这里，负解对应于外索迪圆，正解对应于内索迪圆。

这个公式为笛卡尔和韦达所知（Boyer 和 Merzbach 1991, p. 159），但索迪将其扩展到球体。在 n 维空间中，总是可以找到 n+2 个互相相切的 n-球体，并且它们的曲率关系是

n(sum_(i=1)^(n+2)kappa_i^2)=(sum_(i=1)^(n+2)kappa_i)^2.

另请参阅

阿波罗尼斯问题, 四币问题, 算额问题, 索迪圆, 球体堆积, 相切圆

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参考文献

Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1991.Coxeter, H. S. M. "The Problem of Apollonius." Amer. Math. Monthly 75, 5-15, 1968.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 13-16, 1969.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "The Descartes Circle Theorem." §1.7 in Japanese Temple Geometry Problems. Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 16-17 and 92, 1989.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Wilker, J. B. "Four Proofs of a Generalization of the Descartes Circle Theorem." Amer. Math. Monthly 76, 278-282, 1969.Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, pp. 50-51, 1979.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

笛卡尔圆定理

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "笛卡尔圆定理。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DescartesCircleTheorem.html

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