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特殊仿射曲率

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特殊仿射曲率，也称为等仿射曲率或仿射曲率，是平面曲线的一种曲率，在特殊仿射变换下保持不变。

对于由 (x(t),y(t)) 参数化的平面曲线，特殊仿射曲率由下式给出

k(t)=(x^('')y^(''')-x^(''')y^(''))/((x^'y^('')-x^('')y^')^(5/3))-1/2[1/((x^'y^('')-x^('')y^')^(2/3))]^('')
(1)
=(4(x^('')y^(''')-x^(''')y^(''))+(x^'y^('''')-x^('''')y^'))/(3(x^'y^('')-x^('')y^')^(5/3))-5/9((x^'y^(''')-x^(''')y^')^2)/((x^'y^('')-x^('')y^')^(8/3))
(2)

(Blaschke 1923, Guggenheimer 1977)，其中撇号表示关于 t 的微分。对于曲线 y=y(x) 这简化为

k=-1/2(1/((y^(''))^(2/3)))^('')
(3)
=1/3(y^(''''))/((y^(''))^(5/3))-5/9((y^('''))^2)/((y^(''))^(8/3))
(4)

(Blaschke 1923, Shirokov 1988)，其中撇号表示关于 x 的微分。

下表总结了一些曲线的特殊仿射曲率。

曲线参数化k(t)
悬链线(t,acosh(t/a))(4-cosh((2t)/a))/(9a^(4/3)cosh^(8/3)(t/a))
圆(acost,asint)a^(-4/3)
椭圆(acost,bsint)(ab)^(-2/3)
双曲线(asect,btant)-(ab)^(-2/3)
抛物线(2at,at^2)0

另请参阅

曲率, 特殊仿射变换

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参考文献

Blaschke, W. Affine Differentialgeometrie, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie. Berlin: Springer-Verlag, 1923.Guggenheimer, H. Differential Geometry. New York: Dover, 1977.Shirokov, A. P. "Affine Curvature." In Hazewinkel, M. (Managing Ed.). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia." Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1988.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

特殊仿射曲率

请引用为

Weisstein, Eric W. "Special Affine Curvature." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/SpecialAffineCurvature.html

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