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Smarandache 函数

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Smarandache 函数 mu(n) 是由 Lucas (1883), Neuberg (1887), 和 Kempner (1918) 首次考虑，并随后由 Smarandache (1980) 重新发现的函数，它给出对于给定的 n，使得 n|mu(n)! (即，n 整除 mu(n) 阶乘) 的最小的值。例如，数字 8 不能整除 1!, 2!, 3!, 但是能整除 4!=4·3·2·1=8·3, 所以 mu(8)=4。

SmarandacheFunction

对于 n=1, 2, ..., mu(n) 由 1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, ... (OEIS A002034) 给出，其中应注意 Sloane 定义 mu(1)=1, 而 Ashbacher (1995) 和 Russo (2000, p. 4) 采用 mu(1)=0。 mu(n) 增量最大值是 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (OEIS A046022)，它们出现在 mu(n)=n 的值处。相对于 n，mu(n) 增量最小值是 mu(n)/n = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/12, 3/40, 1/15, 1/16, 1/24, 1/30, ... (OEIS A094404 和 A094372)，它们出现在 n=1, 6, 12, 20, 24, 40, 60, 80, 90, 112, 120, 180, ... (OEIS A094371)。

存在直接计算特殊形式的 n 的 mu(n) 的公式。最简单的情况是

mu(1)=1
(1)
mu(n!)=n
(2)
mu(p)=p
(3)
mu(p_1p_2...p_k)=p_k
(4)
mu(p^alpha)=palpha
(5)

其中 p 是素数，p_i 是不同的素数，p_1<p_2<...<p_k，且 alpha<=p (Kempner 1918)。此外，

mu(P_p)=M_p
(6)

如果 P_p 是第 n 个偶 完全数 且 M_p 是相应的 梅森素数 (Ashbacher 1997; Ruiz 1999a)。最后，如果 p 是素数，且 n>=2 是整数，则

mu(p^(p^n))=p^(n+1)-p^n+p
(7)

(Ruiz 1999b)。

对于 alpha>p 的情况 p^alpha 更为复杂，但可以使用 Kempner (1918) 提出的算法计算。首先，递归地定义 a_j

a_(j+1)=pa_j+1
(8)

其中 a_1=1。这可以以闭合形式求解为

a_j=(p^j-1)/(p-1).
(9)

现在找到满足 a_nu<=alpha<a_(nu+1) 的 nu 值，其由下式给出

nu=|_log_p[1+alpha(p-1)]_|,
(10)

其中 |_x_| 是 向下取整函数。现在根据类似 欧几里得算法 的过程计算序列 k_i 和 r_i

alpha=k_nua_nu+r_nu
(11)
r_nu=k_(nu-1)a_(nu-1)+r_(nu-1)
(12)
|
(13)
r_(lambda+2)=k_(lambda+1)a_(lambda+1)+r_(lambda+1)
(14)
r_(lambda+1)=k_lambdaa_lambda
(15)

即，直到余数 r_lambda=0。在每一步，k_i 是 r_i/a_i 的 整数部分，r_i 是余数。例如，在第一步，k_nu=|_alpha/a_nu_| 且 r_nu=alpha-k_nua_nu。然后

mu(p^alpha)=(p-1)alpha+sum_(i=nu)^lambdak_i
(16)

(Kempner 1918)。

对于一般的 n，mu(n) 的值由下式给出

mu(p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r))=max[mu(p_1^(alpha_1)),mu(p_2^(alpha_2)),...,mu(p_r^(alpha_r))]
(17)

(Kempner 1918)。

对于所有 n

mu(n)>=gpf(n),
(18)

其中 gpf(n) 是 n 的 最大素因子。

可以通过找到 gpf(n) 并测试 n 是否整除 gpf(n)! 来计算 mu(n)。如果能整除，则 mu(n)=gpf(n)。如果不能整除，则 mu(n)>gpf(n)，并且必须使用 Kempner 算法。Erdős (1991) 提出，Kastanas (1994) 证明了 n 使得 ngpf(n)! (即，n 不能整除 gpf(n)!) 的集合的密度为零，但对于小的 n，存在相当多的值使得 ngpf(n)!。这些值的前几个是 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 32, 36, 45, 48, 49, 50, ... (OEIS A057109)。令 N(x) 表示正整数 2<=n<=x 的数量，使得 ngpf(n)!, Akbik (1999) 随后表明

N(x)<<xexp(-1/4sqrt(lnx)).
(19)

Ford (1999) 和 De Koninck and Doyon (2003) 随后对此进行了改进，但前者不幸是错误的。Ford (1999) 提出了渐近公式

N(x)∼(sqrt(pi)(1+ln2))/(2^(3/4))(lnxlnlnx)^(3/4)x^(1-1/u_0)rho(u_0)
(20)

其中 rho(u) 是 Dickman 函数, u_0 通过下式隐式定义

lnx=u_0(x^(1/u_0^2)-1),
(21)

并且常数需要修正 (Ivić 2003)。Ivić (2003) 随后表明

N(x)=x(2+O(sqrt(lnlnx/lnx)))×int_2^xrho(lnx/lnt)(lnt)/(t^2)dt,
(22)

并且，用初等函数表示，

N(x)=xexp[-sqrt(2lnxlnlnx)(1+O(lnlnlnx/lnlnx))].
(23)

Tutescu (1996) 推测，对于任何连续的参数，mu(n) 永远不会取相同的值，即，对于任何 n，mu(n)!=mu(n+1)。这至少在 n=10^9 范围内成立 (Weisstein, 3 月 3 日，2004)。

多个 n 的值可以具有相同的 k=mu(n) 值，如下表中小 k 的总结。

k使得 mu(n)=k 的 n
11
22
33, 6
44, 8, 12, 24
55, 10, 15, 20, 30, 40, 60, 120
69, 16, 18, 36, 45, 48, 72, 80, 90, 144, 180, 240, 360, 720

令 a(k) 表示 mu(n) 的最小逆，即，使得 mu(n)=k 的最小 n。那么 a(k) 由下式给出

a(k)=[gpf(k)]^(e+1),
(24)

其中

e=sum_(i=1)^(|_log_(gpf(k))(n-1)_|)|_(n-1)/([gpf(k)]^i)_|
(25)

(J. Sondow, 私人通信，1 月 17 日，2005 年), 其中 gpf(k) 是 k 的 最大素因子，|_x_| 是 向下取整函数。对于 k=1, 2, ..., a(k) 由 1, 2, 3, 4, 5, 9, 7, 32, 27, 25, 11, 243, ... (OEIS A046021) 给出。mu(n) 的某些值仅在非常大的 n 时首次出现。a(k) 的增量最大值序列为 1, 2, 3, 4, 5, 9, 32, 243, 4096, 59049, 177147, 134217728, ... (OEIS A092233)，对应于 n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 27, 32, ... (OEIS A092232)。

为了找到使得 mu(n)=k 的 n 的数量，请注意，根据定义，n 是 mu(n)! 的除数，但不是 (mu(n)-1)! 的除数。因此，为了找到所有 n，使得 mu(n) 具有给定值，例如所有 n 且 mu(n)=k，取 k! 的所有除数的集合，并省略 (k-1)! 的除数。特别地，对于 k>1，使得 mu(n)=k 的 n 的数量 b(k) 正好是

b(k)=d(k!)-d((k-1)!),
(26)

其中 d(m) 表示 m 的除数数量，即 除数函数 sigma_0(m)。因此，n 且 mu(n)=1, 2, ... 的整数数量由 1, 1, 2, 4, 8, 14, 30, 36, 64, 110, ... (OEIS A038024) 给出。

特别地，方程 (26) 表明逆 Smarandache 函数 a(n) 总是存在，因为对于每个 n，都存在一个 m 且 mu(m)=n (因此存在一个最小的 a(n))，因为对于 n>1，d(n!)-d((n-1)!)>0。

Sondow (2006) 表明，mu(k) 意外地出现在 e 的无理数界限中，并推测对于 几乎所有 n，不等式 n^2<mu(n)! 成立，其中 “对于几乎所有” 意味着除了密度为零的集合。例外情况是 2, 3, 6, 8, 12, 15, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, ... (OEIS A122378)。

由于对于几乎所有 n，gpf(n)=mu(n) (Erdős 1991, Kastanas 1994)，其中 gpf(n) 是 最大素因子，等价的推测是对于几乎所有 n，不等式 n^2<gpf(n)! 成立。例外情况是 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, ... (OEIS A122380)。

D. Wilson 指出，如果

I(n,p)=(n-Sigma(n,p))/(p-1),
(27)

是 素数 p 在 n! 中的幂，其中 Sigma(n,p) 是 n 的基-p 数字之和，那么由此得出

a(n)=min_(p|n)p^(I(n-1,p)+1),
(28)

其中最小值取自整除 n 的 素数 p。当 p 是 n 的 最大素因子 时，似乎总是能达到此最小值。

另请参阅

阶乘, 最大素因子, 伪 Smarandache 函数, Smarandache 上取整函数, Smarandache 常数, Smarandache-Kurepa 函数, Smarandache 近似素数阶乘函数, Smarandache-Wagstaff 函数

此条目部分由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

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参考文献

Akbik, S. "On a Density Problem of Erdős." Int. J. Math. Sci. 22, 655-658, 1999.Ashbacher, C. An Introduction to the Smarandache Function. Cedar Rapids, IA: Decisionmark, 1995.Ashbacher, C. "Problem 4616." School Sci. Math. 97, 221, 1997.Begay, A. "Smarandache Ceil Functions." Bulletin Pure Appl. Sci. India 16E, 227-229, 1997.De Koninck, J.-M. and Doyon, N. "On a Thin Set of Integers Involving the Largest Prime Factor Function." Int. J. Math. Math. Sci., No. 19, 1185-1192, 2003.Dumitrescu, C. and Seleacu, V. The Smarandache Function. Vail, AZ: Erhus University Press, 1996.Erdős, P. "Problem 6674." Amer. Math. Monthly 98, 965, 1991.Finch, S. "The Average Value of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 95-96, 1999. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf.Finch, S. "Moments of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 11, 140-141, 2000. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook11.pdf.Finch, S. R. "Golomb-Dickman Constant." §5.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 284-292, 2003.Ford, K. "The Normal Behavior of the Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 81-86, 1999. http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf."Functions in Number Theory." http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/FUNCT1.TXT.Hungerbühler, N. and Specker, E. "A Generalization of the Smarandache Function to Several Variables." Integers: Electronic J. Combin. Number Th. 6, #A23, 2006 http://www.integers-ejcnt.org/vol6.html.Ibstedt, H. Surfing on the Ocean of Numbers--A Few Smarandache Notions and Similar Topics. Lupton, AZ: Erhus University Press, pp. 27-30, 1997.Ivić, A. "On a Problem of Erdős Involving the Largest Prime Factor of n." 5 Nov 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0311056.Kastanas, I. "Solution to Problem 6674: The Smallest Factorial That Is a Multiple of n." Amer. Math. Monthly 101, 179, 1994.Kempner, A. J. "Miscellanea." Amer. Math. Monthly 25, 201-210, 1918.Lucas, E. "Question Nr. 288." Mathesis 3, 232, 1883.Neuberg, J. "Solutions de questions proposées, Question Nr. 288." Mathesis 7, 68-69, 1887.Ruiz, S. M. "Smarandache Function Applied to Perfect Numbers." Smarandache Notions J. 10, 114-155, 1999a.Ruiz, S. M. "A Result Obtained Using Smarandache Function." Smarandache Notions J. 10, 123-124, 1999b.Russo, F. A Set of New Smarandache Functions, Sequences, and Conjectures in Numer Theory. Lupton, AZ: American Research Press, 2000.Sandor, J. "On Certain Inequalities Involving the Smarandache Function." Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. 17, 583, 1996.Sloane, N. J. A. Sequences A002034/M0453, A038024, A046021, A046022, A057109, A092232, A092233, A094371, A094372, A094404, A122378, and A122380 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smarandache, F. "A Function in Number Theory." Analele Univ. Timisoara, Ser. St. Math. 43, 79-88, 1980.Smarandache, F. Collected Papers, Vol. 1. Bucharest, Romania: Tempus, 1996.Smarandache, F. Collected Papers, Vol. 2. Kishinev, Moldova: Kishinev University Press, 1997.Sondow, J. "A Geometric Proof that e Is Irrational and a New Measure of Its Irrationality." Amer. Math. Monthly 113, 637-641, 2006.Tutescu, L. "On a Conjecture Concerning the Smarandache Function." Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. 17, 583, 1996.

在 Wolfram|Alpha 中引用

Smarandache 函数

请引用为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "Smarandache 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SmarandacheFunction.html

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