设 
为一组 正数。则
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（在 Gradshteyn 和 Ryzhik 2000 年的著作中给出的是不正确的）。这里，常数 e 是最佳可能的，意味着对于任何使用更小常数的更严格的不等式，都可以构造反例。该定理的提出受到在 Hardy 不等式中写作 
的启发
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并令 
。
卡尔曼不等式
另请参阅
算术平均值, e, 几何平均值, Hardy 不等式使用 Wolfram|Alpha 探索
参考文献
Carleman, T. "Sur les fonctions quasi-analytiques." Conférences faites au cinqui'eme congrès des mathématiciens scandinaves. Helsingfors, pp. 181-196, 1923.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1126, 2000.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; 和 Pólya, G. "Carleman's Inequality." §9.12 in Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 249-250, 1988.Kaluza, T. 和 Szegö, G. "Über Reihen mit lauter positiven Gliedern." J. London Math. Soc. 2, 266-272, 1927.Knopp, K. "Über Reihen mit positiven Gliedern." J. London Math. Soc. 3, 205-211, 1928.Mitrinović, D. S. Analytic Inequalities. New York: Springer-Verlag, p. 131, 1970.Ostrowski, A. "Über quasi-analytischen Funktionen und Bestimmtheit asymptotischer Entwicklungen." Acta Math. 53, 181-266, 1929.Pólya, G. "Proof of an Inequality." Proc. London Math. Soc. 24, lvii, 1926.Valiron, G. §3, Appendix B in Lectures on the General Theory of Integral Functions. New York: Chelsea, pp. 186-187, 1949.在 Wolfram|Alpha 中被引用
卡尔曼不等式请引用为
Weisstein, Eric W. “卡尔曼不等式。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CarlemansInequality.html