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指数函数

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“一个”指数函数的最通用形式是幂函数形式

f(x)=ab^(cx+d),
(1)

其中 a, c, 和 d 是实数，b 是正实数，且 x 是实变量。当 c 为正时，f(x) 是一个指数增长函数；当 c 为负时，f(x) 是一个指数递减函数。

ExpReal
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相比之下，“该”指数函数（在初等上下文中有时称为“自然指数函数”）是由以下定义的函数

exp(x)=e^x,
(2)

其中 e 是正实数 e=2.718... 是自然对数的底。函数 exp(x) 也是微分方程 df/dx=f(x) 具有初始条件 f(0)=1 的唯一解。换句话说，指数函数是其自身的导数，因此

d/(dx)e^x=e^x.
(3)
ExpReImAbs
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Re
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为复变量 z 定义的指数函数 exp(z)=e^z 是复平面中的整函数。

指数函数在 Wolfram 语言中实现为Exp[z]。

“自然”指数函数和通用指数函数通过变量 x 的简单缩放和乘法前因子通过以下恒等式相互关联

ab^(c+d)=ab^de^(cxlnb),
(4)

其中 lnz 是自然对数。

指数函数具有简单的麦克劳林级数

exp(z)=sum_(n=0)^infty(z^n)/(n!),
(5)

其中 n! 是阶乘，并且满足极限

exp(z)=lim_(n->infty)(1+z/n)^n.
(6)

指数函数满足以下恒等式

exp(x+y)=exp(x)exp(y).
(7)

它还通过以下恒等式与三角函数相关

e^x=coshx+sinhx
(8)
=sec(gdx)+tan(gdx)
(9)
=tan(1/4pi+1/2gdx)
(10)
=(1+sin(gdx))/(cos(gdx)),
(11)

其中 gdx 是 Gudermannian 函数 (Beyer 1987, p. 164; Zwillinger 1995, p. 485)。

如果 z=x+iy,

e^z=e^(x+iy)=e^xe^(iy)=e^x(cosy+isiny).
(12)

类似地，如果

a+bi=e^(x+iy),
(13)

那么

y=tan^(-1)(b/a)
(14)
x=ln{bcsc[tan^(-1)(b/a)]}
(15)
=ln{asec[tan^(-1)(b/a)]}.
(16)

指数函数具有连分数

e^z=1/(1-z/(1+z/(2-z/(3+z/(2-z/(5+z/(2-...)))))))
(17)

(Wall 1948, p. 348)。

ExpInv
ExpInvReImAbs
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上面的图显示了函数 e^(1/z) (Trott 2004, pp. 165-166)。

涉及指数函数的积分包括

int_0^(2pi)e^(e^(it))dt=2pi
(18)
int_0^(2pi)e^(e^(it)-it)dt=2pi
(19)

(Borwein et al. 2004, p. 55)。

另请参阅

Cis, 复数指数, e, 欧拉公式, 指数, 指数定律, 指数衰减, 指数增长, 指数斜坡, 指数递减函数, 指数增长函数, 傅里叶变换--指数函数, Gudermannian 函数, 自然指数函数, 相量, 幂, Sigmoid 函数 在 MathWorld 教室中探索此主题

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Exp/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Exponential Function." §4.2 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 69-71, 1972.Beyer, W. H. CRC 数学标准表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 217, 1987.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. 数学实验：计算发现之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Finch, S. "指数函数的线性独立性。" http://algo.inria.fr/csolve/sstein.html.Fischer, G. (Ed.). Plates 127-128 in 大学和博物馆收藏的数学模型，图集。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 124-125, 1986.Krantz, S. G. "指数及其应用。" §1.2 in 复变量手册。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 7-12, 1999.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "指数函数 exp(bx+c)" 和 "幂的指数 exp(-ax^nu)。" Chs. 26-27 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 233-261, 1987.Trott, M. "基本超越函数。" §2.2.3 in Mathematica 编程指南。 New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wall, H. S. 连分数解析理论。 New York: Chelsea, 1948.Yates, R. C. "指数曲线。" 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 86-97, 1952.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 数学标准表和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

指数函数

引用为

Weisstein, Eric W. "指数函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ExponentialFunction.html

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